Steiner_Ellipse

1. Ελλείψεις του Steiner

Ένας από τους απλούστερους τρόπους ορισμού των ελλείψεων του Steiner είναι μέσω της ομοιογραφίας που απεικονίζει τις κορυφές ενός ισοπλεύρου τριγώνου t = (ABC) στις κορυφές ενός τυχόντος τριγώνου t' = (A'B'C') και το κέντρο D του t στο σημείο τομής D' των διαμέσων του t'. Αυτές οι προδιαγραφές ορίζουν μονοσήμαντα την ομοιογραφία (εκτός από μετάθεση των κορυφών των τριγώνων).

Έστω F αυτή η ομογραφία. Έστωσαν και a, b αντίστοιχα ο περιγεγραμμένος και εγγεγραμμένος κύκλος του t. Τότε οι εικόνες μέσω της F: a' = F(a) και b' = F(b) , είναι αντίστοιχα η περιγεγραμμένη και εγγεγραμμένη έλλειψη του Steiner του τριγώνου t'.

Από τις γενικές ιδιότητες των ομοιογραφιών προκύπτουν ιδιότητες των ελλείψεων του Steiner του τριγώνου t':
1) Λόγω της διατήρησης του διπλού λόγου από ομογραφίες, έπεται ότι οι διάμεσοι του t απεικονίζονται στις διαμέσους του t'.
2) Τούτο συνεπάγεται ότι η ευθεία στο άπειρο απεικονίζεται στον εαυτό της, άρα η ομογραφία είναι μιά συσχετισμένη γραμμική.
3) Γραμμικές συσχετισμένες απεικονίσεις σέβονται την παραλληλία, τους λόγους-μηκών, τους λόγους-εμβαδών και απεικονίζουν κύκλους σε ελλείψεις.
4) Τούτο συνεπάγεται ότι ο εσωτερικός κύκλος απεικονίζεται στην εσωτερική έλλειψη η οποία εφαπτεται των πλευρών του t' στα μέσα αυτών.
5) Από την (3) έπεται επίσης ότι η εφαπτόμενη της εξωτερικής έλλειψης στην κορυφή τριγώνου είναι παράλληλος της απέναντι πλευράς.
6) Τα κέντρα και των δύο ελλείψεων συμπίπτουν με το D' και οι ελλείψεις είναι ομοιόθετες με λόγο 2 ως προς αυτό το σημείο.
7) Η εσωτερική έλλειψη είναι η εγγεγραμμένη στο t' με το μέγιστο εμβαδό και η εξωτερική ταυτίζεται με την περιγεγραμμένη ελαχίστου εμβαδού.
8) Επειδή η συσχετισμένη απεικόνιση διατηρεί λόγους εμβαδών, έπεται ότι
εμβαδόν(εσω Steiner) = (π/(3*sqrt(3)))*εμβ(A'B'C') και
εμβαδόν(έξω Steiner) = (4*π/(3*sqrt(3)))εμβ(A'B'C').

2. Άλλος τρόπος παραγωγής

Ένας άλλος τρόπος παραγωγής των ελλείψεων στηρίζεται σε ιδιότητες που προκύπτουν από αυτές του ισοπλεύρου και μεταφέρονται μέσω της συσχετισμένης απεικόνισης F.

Ο τρόπος αυτός έχει να κάνει με τις διαμέσους του τριγώνου, οι οποίες μέσω των ελλείψεων Steiner και των πλευρών/κορυφών του τριγώνου χωρίζονται σε ίσα τμήματα. Έτσι BH = HG = GE = EJ, CK = KG = GF = FI κτλ.
Έτσι οι κωνικές μπορούν να κατασκευασθούν άμεσα από πέντε εύκολα ευρισκόμενα σημεία τους (και το εργαλείο που κατασκευάζει κωνική διερχόμενη από πέντε σημεία σε γενική θέση).

3. Το σημείο του Steiner

Η εξωτερική έλλειψη του Steiner τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του t' σε ένα τέταρτο σημείο S, εκτός των τριών κορυφών A', B', C'. Το σημείο αυτό λέγεται σημείο του Steiner. Ένας εύκολος τρόπος κατασκευής αυτού του σημείου δίδεται στο Σημείο του Steiner . Στον κατάλογο κέντρων τριγώνων του Kimberling το σημείο αυτό συμβολίζεται με Χ(99).

Δείτε ακόμη

Σημείο του Steiner

Βιβλιογραφία

Yiu, P. GeometryNotes020402 (pdf). http://www.math.fau.edu/yiu/GeometryNotes020402.pdf
Kimberling, Clark. Encyclopedia of Triangle Centers http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/