[alogo] Κιβωτισμένα συμμετρικά εξάγωνα

Θεώρησε ένα συμμετρικό ισόπλευρο εξάγωνο P(1) = ABCDEF. Έστω Y το κέντρο συμμετρίας του. Κατασκεύασε ακολουθία εξαγώνων P(2), P(3), ..., by παίρνοντας κατ' επανάληψιν τα κέντρα πλευρών. Ισχύουν τα επόμενα.
1) Όλα τα πολύγωνα P(n) της ακολουθίας είναι συμμετρικά ως προς Y.
2) Η ευθεία που ενώνει τα μέσα των απέναντι πλευρών του P(n), περνά επίσης από τα μέσα των πλευρών του μεθεπομένου πολυγώνου Ρ(n+2). Εδώ η ευθεία [LI] διέρχεται επίσης από τα W και T.
3) Παραλείποντας το P(1), το πολύγωνο P(n) έχει πλευρές παράλληλες προς αυτές του P(n+2).
4) Παραλείποντας το P(1), ο λόγος δύο παραλλήλων πλευρών του P(n) και του μεθεπομένου του, P(n+2), είναι σταθερός (=3/4). Συνεπώς η ακολουθία των λόγων-περιμέτρων: s(n) = περ(P(n+2))/περ(P(n)) είναι σταθερή.
5) Ξεκινώντας από το k=1, η ακολουθία των λόγων περιμέτρων u(n) = περ(P(2k+1))/περ(P(2k)) είναι σταθερή.

[0_0] [0_1] [0_2]


1) Αποδεικνύεται εύκολα επαγωγικά.
2) Κατ' αρχήν το KJ είναι παράλληλο και μισό του AC = LI. Πρόβαλε τα K, J παράλληλα της πλευράς MR (ή OP) στα Z, A' αντιστοίχως. Τα KZ, JA' είναι ίσα και συνεπώς WR = (1/2)KZ = (1/2)JA' = PT. Λόγω συμμετρίας PT = WM, άρα το W είναι το μέσον της MR και αντίστοιχα το T είναι το μέσον της OP.
3) Οι πλευρές KJ, UV είναι αντίστοιχα παράλληλες και μισές των AC και PR, που αποδείχτηκαν παράλληλες.
4) Οι αποστάσεις LW = WZ = A'T = TI. Η πρώτη ισότητα διότι το R είναι το μέσον της LK και προβάλουμε παραλλήλως της WR. Οι άλλες ισότητες έπονται από την συμμετρία. Επίσης ZY = YA' και το ZA' είναι το μισό του LI. Όλα αυτά συνεπάγονται την LY/WY = 4/3.
Σημείωσε ότι παρόλο που το πρώτο πολύγωνο είναι ισόπλευρο, τα υπόλοιπα πολύγωνα της ακολουθίας, εν γένει, δεν είναι ισόπλευρα. Η περίπτωση των εξαγώνων είναι μιά ειδική των ισοπλεύρων συμμετρικών πολυγώνων με 2n πλευρές. Τα αποτελέσματα που αποδείχτηκαν εδώ δεν ισχύουν γιά n >3. Δες το έγγραφο SymmetricNestedOctagons.html γιά μιά συζήτηση αυτών των περιπτώσεων και αντίστοιχα ανοιχτά προβλήματα. Τετράπλευρα και τα μέσα των πλευρών τους παράγουν επίσης ακολουθίες πολυγώνων με παρόμοιες ιδιότητες. Μπορέι κανείς να αναρωτηθεί αν αυτές οι δύο περιπτώσεις, των τετραπλεύρων και των εξαγώνων, είναι οι μόνες περιπτώσεις συμμετρικών πολυγώνων που παράγουν ακολουθίες πολυγώνων με σταθερούς λόγους περιμέτρων. Δεν ξέρω ακόμη την απάντηση σ' αυτό το ερώτημα.

Variable points are: A and F, using the selection tool (Ctrl+1), and B, C using the Select-on-contour tool (Ctrl+2). The two last points move on hidden circles.

Produced with EucliDraw©