[alogo] Συμμετρικά κιβωτισμένα οκτάγωνα

Θεώρησε το συμμετρικό ισόπλευρο οκτάγωνο ABCDEFGH. Όρισε τα μέσα πλευρών και κατασκεύασε δεύτερο οκτάγωνο με κορυφές σ' αυτά τα σημεία. Επανάλαβε αυτήν την κατασκευή αρκετές φορές, ώστε να δημιουργήσεις ακολουθία οκταγώνων P(1), P(2), ... etc. Δείξε τις επόμενες ιδιότητες:
1) Όλα τα πολύγωνα P(n) είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο συμμετρίας Y του αρχικού πολυγώνου.
Δείξε ότι για αυξανόμενο n ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες.
2) Οι ευθείες που ενώνουν μέσα αντίστοιχων πλευρών του P(n), και P(n+2) τείνουν προς σταθεράν ευθεία.
3) Οι κατευθύνσεις αντιστοίχων πλευρών του P(n) και P(n+2) τείνουν προς σταθερή κατεύθυνση.
4) Ευθείες που ενώνουν αντίστοιχες κορυφές του P(n) και P(n+2) τείνουν να διέρχονται δια του Y.
5) Ο λόγος αντιστοίχων πλευρών του P(n) και P(n+2) τείνει προς σταθερό αριθμό.
6) Ο λόγος των περιμέτρων των P(n) και P(n+2) τείνει προς σταθερό αριθμό.
5) Ο λόγος των περιμέτρων των P(n) και P(n+1) τείνει προς σταθερό αριθμό.
Δώσε γενικεύσεις γιά οποιαδήποτε συμμετρικά ισόπλευρα 2k-γωνα. Δες επίσης το αρχείο SymmetricNestedHexagons.html γιά μιά ειδική ενδιαφέρουσα περίπτωση, στην οποία οι παραπάνω οριζόμενες ακολουθίες αριθμών είναι σταθερές.

[0_0] [0_1] [0_2]
[1_0] [1_1] [1_2]


Τι συμβαίνει με μη-συμμετρικά πολύγωνα? Γενικώτερα, θα μπρορούσε κανείς να θεωρήσει αυθαίρετα πολύγωνα, όχι κατ' ανάγκην ισόπλευρα/συμμετρικά και να εξετάσει ανάλογα ζητήματα. Μάλιστα, θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει ακολουθίες πολυγώνων, παίρνοντας όχι τα μέσα, αλλά σημεία διαιρούντα τις πλευρές σε σταθερό λόγο. Δες το έγγραφο Nested_Polygons.html , γιά να πάρεις μιά εικόνα.
Σχετικά με την κατασκευή κιβωτισμένων πολυγώνων, σημείωσε ότι το σχήμα (b) έχει προσαρτηθεί στο μεγάλο σχήμα αρκετές φορές. Τούτο έγινε με την χρήση του εργαλείου [Προσάρτηση Σχήματος _ _].

Μεταβλητά σημεία είναι τα: A και B, χρησιμοποιώντας το εργαλείο-επιλογής (Ctrl+1), και τα C, D, E χρησιμοποιώντας το εργαλείο επιλογής στο σύνορο (Ctrl+2). Τα τρία τελευταία σημεία κινούνται περιοριζόμενα σε κρυφούς κύκλους.

Produced with EucliDraw©