Διδάσκων: Μιχάλης Πλεξουσάκης, Γ-118, Λευκό Κτήριο. E-mail: plex [at] tem uoc gr
Ώρες γραφείου: TBA
Το μάθημα «Θέματα στην Αριθμητική Ανάλυση» φιλοδοξεί να παρουσιάσει θέματα τα οποία δεν καλύπτονται πλήρως ή και καθόλου στα εισαγωγικά μαθήματα Αριθμητικής Ανάλυσης στο Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών. Κατά το Χειμερινό Εξάμηνο 2011-12 τα θέματα τα οποία θα αναπτυχθούν περιλαμβάνουν αριθμητικές μεθόδους για ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, φασματικές μεθόδους για τη λύση διαφορικών εξισώσεων, βέλτιστες προσεγγίσεις στην ομοιόμορφη νόρμα, και, αν ο χρόνος το επιτρέψει ασυνεχείς μεθόδους Galerkin. Το συγκεκριμένο μάθημα είναι μάθημα κατεύθυνσης για την 1η και την 3η ειδίκευση ενώ μοναδικό προαπαιτούμενο έχει την Αριθμητική Ανάλυση (ΤΕΜ-181).
Ώρες διαλέξεων: Δευτέρα, Τετάρτη 11:00-13:00, Θ-202
Ώρες εργαστηρίων/ασκήσεων: Παρασκευή 9:00-11:00, Θ-202
Διδακτικό υλικό
Για τις ανάγκες του μαθήματος θα χρησιμοποιηθούν προσωπικές σημειώσεις του διδάσκοντα. Για τις εισαγωγικές έννοιες στην Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα θα χρησιμοποιήσουμε το βιβλίο «Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση» των Γ.Δ. Ακρίβη και Β.Α. Δουγαλή, ΠΕΚ, ΙΤΕ. Για το πρόβλημα ιδιοτιμών/ιδιοδιανυσμάτων η παρουσίαση θα ακολουθήσει το βιβλίο «Matrix Computations» των Gene H. Golub και Charles F. van Loan, John Hopkins Studies in Mathematical Sciences, 3rd ed., 1996. Το βιβλίο «Spectral Methods in MATLAB» του Lloyd N. Trefethen, SIAM, 2000, αποτελεί μια περιεκτική εισαγωγή στην αριθμητική επίλυση εξισώσεων με φασματικές μεθόδους.
Μερικές σημειώσεις για τη Θεωρία Προσέγγισης. Οι συγκεκριμένες σημειώσεις βασίζονται στις παραδόσεις του Μαθήματος Θεωρίας Προσέγγισης που δόθηκε από τον Δ. Μητσούδη το 2006.
Μερικές σημειώσεις για ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα και φασματικές μεθόδους (ενημερώθηκε 04-12-2011)
Υλικό για τα εργαστήρια της 24-11-2011. Το πρόγραμμα chebfft.m υπολογίζει τη παράγωγο στα σημεία του Chebyshev με χρήση του μετασχηματισμού Fourier. Το πρόγραμμα chebdiff.m είναι παράδειγμα χρήσης της ρουτίνας chebfft. Το πρόγραμμα kdv.m λύνει την εξίσωση KdV στο διάστημα [-π, π] με περιοδικές συνθήκες.
Υλικό για τα εργαστήρια της 16,18-11-2011. Το πρόγραμμα poisson.m λύνει την εξίσωση του Poisson με ομογενείς συνθήκες τύπου Dirichlet. Το πρόγραμμα helmholtz.m λύνει την εξίσωση του Helmholtz. Τα προγράμματα linbvp2.m και linbvp3.m λύνουν ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών με διάφορες συνοριακές συνθήκες. Το πρόγραμμα laplace.m λύνει την εξίσωση του Laplace σε ένα τετραγωνικό χωρίο με μεικτές συνοριακές συνθήκες. Tα προγράμματα allencahn1.m" και allencahn2.m" λύνουν την εξίσωση Allen-Cahn.
Υλικό για τα εργαστήρια της 09-11-2011. Το πρόγραμμα cheb.m υπολογίζει τα σημεία Chebyshev και τον αντίστοιχο πίνακα παραγώγισης. Το πρόγραμμα polyinterp.m συγκρίνει την παρεμβολή σε ισαπέχοντα σημεία και στα σημεία του Chebyshev. Το πρόγραμμα smooth.m υπολογίζει το σφάλμα της παρεμβολής στα σημεία του Chebyshev, για μια ομαλή συνάρτηση. Tα προγράμματα linbvp.m και nonlinbvp.m λύνουν ένα γραμμικό, αντίστοιχα, μη γραμμικό πρόγραμμα συνοριακών τιμών με ομογενείς συνοριακές συνθήκες.
Υλικό για τα εργαστήρια της 04-11-2011. Τα προγράμματα spdiff.m και spdiff2.m υπολογίζουν την παράγωγο μιας συνάρτησης με χρήση είτε του πίνακα παραγώγισης είτε του ταχύ μετασχηματισμού Fourier. Το πρόγραμμα transport.m λύνει μια απλή εξίσωση μεταφοράς με το σχήμα leapfrog.
Υλικό για τα εργαστήρια της 26-10-2011. Το πρόγραμμα fd4.m δείχνει την τάξη σύγκλισης πεπερασμένων διαφορών 4ης τάξης. Στο πρόγραμμα bli.m υπολογίζουμε την παρεμβάλουσα διάφορων συναρτήσεων.
Αξιολόγηση
Ο τελικός βαθμός, Β, του μαθήματος θα υπολογιστεί από τον τύπο B = 0.4 * E + 0.6 * T. Εδώ E είναι ο μέσος όρος των εργαστηριακών ασκήσεων και T ο βαθμός στο τελικό διαγώνισμα. Ο ίδιος τύπος υπολογισμού του τελικού βαθμού ισχύει και για την εξεταστική περίοδο του Σεπτεμβρίου. Ασκήσεις στη Θεωρία θα δίδονται σε τακτά χρονικά διαστήματα ενώ κατά τη διάρκεια του εξαμήνου θα δοθούν τρείς ή τέσσερεις ασκήσεις προγραμματισμού.
Ανακοινώσεις
23-12-2011 Παραδώστε τις ασκήσεις του φυλλαδίου μέχρι τις 13-01-2011. Ο βαθμός που θα πάρετε στις ασκήσεις αυτές θα συμψηφιστεί με το βαθμό του τελικού διαγωνίσματος.
04-12-2011 Την 3η εργαστηριακή άσκηση αποτελούν οι ασκήσεις 2.5 και 2.6 από τις σημειώσεις. Παρακαλώ παραδώστε τις μέχρι τις 23-12-2011, 21:00.
27-11-2011 Την 2η εργαστηριακή άσκηση αποτελούν οι ασκήσεις 2.2 και 2.3 από τις σημειώσεις. Παρακαλώ παραδώστε τις μέχρι τις 2-12-2011, 21:00.
18-10-2011 Η 1η εργαστηριακή άσκηση είναι η άσκηση 1.17 από τις σημειώσεις του μαθήματος. Παρακαλώ παραδώστε την μέχρι τις 27-10-2011, 21:00.
Ημερολόγιο
25-11-2011 Εργαστήριο MATLAB.
23-11-2011 Δεν έγινε μάθημα.
21-11-2011 Υπολογισμός της παραγώγου με χρήση του μετασχηματισμού Fourier.
18-11-2011 Εργαστήριο MATLAB.
16-11-2011 Εργαστήριο MATLAB.
14-11-2011 Προβλήματα στις δύο διαστάσεις.
11-11-2011 Δεν έγινε μάθημα λόγω αργίας.
09-11-2011 Παρεμβολή σε ισαπέχοντα σημεία και στα σημεία του Chebyshev (συνέχεια). Εργαστήριο MATLAB.
07-11-2011 Παρεμβολή σε ισαπέχοντα σημεία και στα σημεία του Chebyshev. Ο πίνακας παραγώγισης.
04-11-2011 Ταχύς μετασχηματισμός Fourier. Εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων. Εργαστήριο MATLAB.
02-11-2011 Ο ταχύς μετασχηματισμός Fourier (συνέχεια). Εφαρμογή στην εξίσωση μεταφοράς.
31-10-2011 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier σε περιοδικά πλέγματα (συνέχεια). Ο ταχύς μετασχηματισμός Fourier.
31-10-2011 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier σε περιοδικά πλέγματα (συνέχεια).
28-10-2011 Δεν έγινε μάθημα λόγω αργίας.
26-10-2011 Διακριτός μετασχηματισμός Fourier σε περιοδικά πλέγματα. Εργαστήριο MATLAB.
24-10-2011 Συνεχής και διακριτός μετασηματισμός Fourier. Παρεμβολή.
21-10-2011 Φασματικές μέθοδοι. Προκαταρκτικά.
19-10-2011 Δεν έγινε μάθημα λόγω κατάληψης.
17-10-2011 Πρακτική εφαρμογή της ανάλυσης QR.
14-10-2011 Η ανάλυση Schur για πραγματικούς πίνακες.
12-10-2011 Μετασχηματισμοί ομοιότητας μέσω ορθομοναδιαίων πινάκων.
10-10-2011 Η ανάλυση QR.
07-10-2011 Η ανάλυση ιδιαζουσών ιδιοτιμών (συνέχεια). Μετασχηματισμοί Householder. Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα με το MATLAB.
05-10-2011 Νόρμες διανυσμάτων και πινάκων. Η ανάλυση ιδιαζουσών ιδιοτιμών (SVD).
03-10-2011 Σύντομη επανάληψη εννοιών από την Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα. Το πρόβλημα των ιδιοτιμών.