ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Εαρινό Εξάμηνο 2024

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη και Πέμπτη 3:15-5:00 στην Ε204.

Κύριο Σύγγραμμα: E. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction.

Βοηθητικό Σύγγραμμα: Σημειώσεις Μ. Κολουντζάκη εδώ.

Προαπαιτούμενα: Καλή γνώση Ανάλυσης Ι και ΙΙ.

Γραφείο: Γ 307.

Ώρες γραφείου: Τρίτη 12:00-2:00.

Ύλη: Κεφάλαια 2-5 από το κύριο σύγγραμα. Συγκεκριμένα:

Συναρτήσεις στον κύκλο: Σύγκλιση τριγονωμετρικών σειρών, σειρές Fourier, τάξη μεγέθους συντελεστών Fourier, θεώρημα μοναδικότητας, καλοί πυρήνες, Cesaro αθροισιμότητα και θεώρημα σύγκλισης Fejer, κριτήριο Dini, αρχή τοπικότητας, ύπαρξη αποκλίνουσας σειράς Fourier.
Χώροι Hilbert: Βασικές αρχές χώρων Hilbert, ορθοκανονικά σύνολα, θεώρημα Parseval, ανάπτυγμα Fourier σε χώρους Hilbert, πληρότητα τριγωνομετρικού συστήματος, σύγκλιση σειράς Fourier κατά τετραγωνικό μέσο.
Εφαρμογές: Ισοπεριμετρικό πρόβλημα, θεώρημα ισακοτανομής Weyl, ισοκατανομή ακολουθιών στον κύκλο, κριτήριο van der Corput.
Συναρτήσεις στην ευθεία: Mετασχηματισμός Fourier στην ευθεία, καλοί πυρήνες, θεώρημα σύγκλισης Fejer, τύπος Plancherel, τύπος άθροισης Poisson, εφαρμογές σε μερικές διαφορικές εξισώσεις.

Βαθμολογία: Πρόοδος 35%, Τελικό διαγώνισμα 65%.

Ανακοινώσεις

2/2: Λόγω της κατάληψης του κτιρίου, με απόφαση της γενικής συνέλευσης του τμήματος, τα μαθήματα δε θα ξεκινήσουν την επόμενη εβδομάδα. Ευελπιστώ η επόμενη απόφαση για κατάληψη ή μη του κτιρίου να ληφθεί με μαζικότερη συμμετοχή των φοιτητών ώστε να μην αποφασίζουν πολύ λίγοι (42 ψήφισαν στη ΓΣ φοιτητών ΤΜΕΜ 31/1) για πάρα πολλούς (>1500 ενεργοί φοιτητές ΤΜΕΜ).

6/2: Mέχρι να ξεκινήσουν τα μαθήματα μπορείτε να λύσετε τις ασκήσεις από εδώ, εδώ, και εδώ.

8/2: Tα μαθήματα ξεκινούν κανονικά, δια ζώσης, την επόμενη εβδομάδα.

12/3: Το μάθημα της Πέμπτης θα αναπληρωθεί την Παρασκευή 15 Μαρτίου 1:15-3:00 στην Ε204.

15/3: Η πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Τρίτη 16 Απριλίου την ώρα του μαθήματος. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει τις ενότητες που θα έχουμε καλύψει μέχρι εκείνη τη στιγμή. Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.

11/4: Το μάθημα της Τρίτης 23 Απριλίου θα γίνει 5:30-7:15 στην Ε204.

18/4: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ. Oι βαθμοί της προόδου είναι εδώ.

25/4: Το μάθημα της Πέμπτης 23 Μαϊου ακυρώνεται και θα αναπληρωθεί την Τετάρτη 15 Μαϊου 3:15-5:00 στην Ε204.

Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις

1η Εβδομάδα (13, 15 Φεβρουαρίου): Επανάληψη σε βασικές έννοιες της ανάλυσης: Σειρές αριθμών, ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων, ολοκλήρωμα Riemman, κριτήριο Abel, σύγκλιση και ιδιότητες τριγωνομετρικών σειρών.

2η Εβδομάδα (20, 22 Φεβρουαρίου): Τριγωνομετρικές και εκθετικές σειρές, συντελεστές Fourier, σειρές Fourier, παραδείγματα σειρών Fourier. Σελίδες 29-37 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 58-61: 1, 2, 8, 9, 11 σελίδα 66: 2(α).

3η Εβδομάδα (27, 29 Φεβρουαρίου): Καλοί πυρήνες και η χρήση τους, ο πυρήνας του Dirichlet και ένα σχετικό παράδειγμα καλού πυρήνα, θεώρημα μοναδικότητας, συναρτήσεις με απολύτως συγκλίνουσα σειρά Fourier, ομαλότητα συνάρτησης και τάξη μεγέθους συντελεστών Fourier. Σελίδες 37-44 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 58-63: 4, 5, 6, 10, 15, σελίδα 65: 1(α).

4η Εβδομάδα (5 Μαρτίου): Συνέλιξη συναρτήσεων, βασικές ιδιότητες. Σελίδες 44-48 από το κύριο σύγγραμμα.

5η Εβδομάδα (12, 15 Μαρτίου): Καλοί πυρήνες και θεώρημα σύγκλισης, Cesaro αθροισιμότητα, θεώρημα σύγκλισης Fejer και εφαρμογές, ατά σημείο σύγκλιση σειράς Fourier στα σημεία παραγωγισιμότητας (θεώρημα Dini), αρχή τοπικότητας. Σελίδες 48-54 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδα 62: 4, 14(a), σελίδες 91-94: 12, 13, 14, 17.

6η Εβδομάδα (19, 21 Μαρτίου): Aρχή ομοιόμορφου φράγματος και ύπαρξη αποκλίνουσας σειράς Fourier (η απόδειξη του βιβλίου είναι διαφορετική από αυτή που δώσαμε), χώροι με εσωτερικό γινόμενο, Πυθαγόρειο θεώρημα, τριγωνική ανισότητα και ανισότητα Cauchy-Schwarz, ορθοκανονικά σύνολα. Σελίδες 69-76 και 81-87 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 88-91: 3, 4 (a), (b), σελίδα 95: 1.

7η Εβδομάδα (26, 28 Μαρτίου): Ανισότητα Bessel, θεώρημα βέλτιστης προσέγγισης, πλήρη ορθοκανονικά σύνολα, θεώρημα σύγκλισης και ταυτότητα Parseval, απόδειξη πληρότητας για το τριγωνομετρικό ορθοκανονικό σύστημα, θεώρημα σύγκλισης σειράς Fourier κατά τετραγωνικό μέσο και ταυτότητα Parseval, εφαρμογές. Σελίδες 76-81 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 88-91: 7, 8, 9, 11, 14, 91-93: 15 (a), (b), 17, 19, σελίδα 95: 2.

8η Εβδομάδα (2, 4 Απριλίου): Λύση ασκήσεων, ισοπεριμετρικό πρόβλημα, εισαγωγή στην έννοια της ισοκατανομής ακολουθιών. Σελίδες 100-107 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 121-123: 1, 5, 9.

9η Εβδομάδα (9, 11 Απριλίου): Κριτήριο ισοκατανομής του Weyl, λήμμα van der Corput, παραδείγματα ισοκατανεμημένων ακολουθιών (γραμμικές, τετράγωνα, τετραγωνικές ρίζες), λύση ασκήσεων. Σελίδες 107-113 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 122-124: 6, 8, 10, σελίδα 126: 3.

10η Εβδομάδα (16, 18 Απριλίου): Πρόοδος και λύση θεμάτων προόδου, ισοκατανομή πραγματικών δυνάμεων, μη ισοκατανομή λογαριθμικών ακολουθιών.

11η Εβδομάδα (23, 25 Απριλίου): Ιδιότητες ολοκληρωμάτων στην ευθεία, μετασχηματισμός Fourier στην ευθεία, παραδείγματα, βασικές ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier. Σελίδες 129-139 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 161-162: 1, 2, 4.