ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΟΥ)

Χειμερινό Εξάμηνο 2018

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Tρίτη και Παρασκευή 11:00-13:00 στην Β212 ή Β214.

Κύριο Σύγγραμμα: Ε. Stein, R. Shakarchi, Real Analysis. Princeton Lectures in Analysis (Book 3).

Αλλα Συγγράματα: (1) R. Wheeden, A. Zygmund, Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis.
(2) N. Carothers, Real Analysis (Part III). (3) G. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications.

Γραφείο: Γ307.

Ύλη: Εξωτερικό μέτρο στον ευκλείδιο χώρο, μετρήσιμα σύνολα και μέτρο Lebesgue, μη μετρήσιμα σύνολα, μετρήσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες και θεωρήματα προσέγγισης, θεώρημα Egorov και Lusin, ολοκλήρωμα Lebesgue, βασικές ιδιότητες και οριακά θεωρήματα, πληρότητα χώρου ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, θεωρήματα προσέγγισης από κλιμακωτές και συνεχείς, οι χώροι L^p και βασικές ιδίοτητες τους, θεώρημα Fubini και Tonelli και εφαρμογές τους, συνέλιξη συναρτήσεων και προσεγγίσεις της μονάδας, θεωρία μέτρου σε γενικούς χώρους με μέτρο, εξωτερικά μέτρα, μετρησιμότητα κατά Καραθεοδωρή, θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή και εφαρμογές, προσημασμένα μέτρα, θεώρημα διάσπασης Hahn, απολύτως συνεχή και ιδιάζοντα μέτρα, θεώρημα Radon-Nikodym, μεγιστικές συναρτήσεις, το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις και γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος του απειροστικού λογισμού.

Ώρες γραφείου: Tρίτη και Παρασκευή 13:00-14:00.

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 20%, Πρόοδος 30%, Τελικό διαγώνισμα: 50%.

Ανακοινώσεις

28/09: Το μάθημα πλέον θα ξεκινάει στις 11:05 και όχι στις 11:15.

1/11: Η πρόοδος θα γίνει την Παρασκευή 9 Νοεμβρίου 11:00-14:00. Ύλη: Ότι κάναμε μέχρι τις 2 Νοεμβρίου. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας.

2/11: Ξεκινώντας στις 16 Νοεμβρίου τα μαθήματα της Παρασκευής θα έχουν διάρκεια 3 ώρες για να καλύψουμε τα δύο μαθήματα που θα χάσουμε στις 11 και 14 Δεκεμβρίου.

11/11: Tα θέματα της προόδου είναι εδώ.

16/11: Για διευκόλυνση όσων παίρνουν πτυχίο, το μάθημα την επόμενη Παρασκευή 23 Νοεμβρίου μεραφέρεται την Πέμπτη 22 Νοεμβρίου 15:00-18:00.

18/12: Tην ερχόμενη Πέμπτη θα κάνουμε ένα επιπλέον μάθημα 15:00-17:00.

21/12: Μέχρι τις 18 Ιανουαρίου πρέπει να μου έχετε δώσει όλοι τα Φυλλάδια Ασκήσεων 5-7 και μέχρι τις 28 Ιανουαρίου το Φυλλάδιο Ασκήσεων 8.

21/12: Tην Δευτέρα 28 Ιανουαρίου θα κάνουμε ένα μάθημα ασκήσεων 10:00-14:00.

21/12: Τελικό διαγώνισμα: Πέμπτη 31 Ιανουαρίου 11:00-15:00. Όλη η ύλη. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας.

31/1: Tα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (25, 28 Σεπτεμβρίου) : Δομή ανοιχτών υπoσυνόλων του ευκλείδιου χώρου, εξωτερικό μέτρο στον ευκλείδιο χώρο, πρώτες βασικές ιδιότητες και παραδείγματα υπολογισμού εξωτερικού μέτρου. Σελίδες xv-xix και 1-11 από το κύριο σύγγραμμα.

2η Εβδομάδα (2, 5 Οκτωβρίου) : Tο σύνολο Cantor, επιπλέον βασικές ιδιότητες εξωτερικού μέτρου, μετρήσιμα σύνολα , βασικές ιδιότητες, μέτρο Lebesgue, αριθμήσιμη προσθετικότητα. Σελίδες 8-19 από το κύριο σύγγραμμα.

3η Εβδομάδα (9, 12 Οκτωβρίου) : Θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συνόλων από απλούστερα σύνολα, σύνολα Borel, παράδειγμα μη μετρήσιμου συνόλου (σύνολο Vitali), η συνάρτηση Cantor-Lebesgue. Σελίδες 20-26 και 38 από το κύριο σύγγραμμα.

4η Εβδομάδα (16, 19 Οκτωβρίου) : Mετρήσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, Riemann ολοκληρώσιμη συνεπάγεται σχεδόν παντού συνεχής Θεωρήματα προσέγγισης (κατά σημείο) από απλές, κλιμακωτές και συνεχείς συναρτήσεις. Σελίδες 27-33 από το κύριο σύγγραμμα.

5η Εβδομάδα (23, 26 Οκτωβρίου) : Θεώρημα Egorov και Lusin, oρισμός ολοκληρώματος Lebesgue για απλές συναρτήσεις, ορισμός ολοκληρώματος Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις, πρώτες βασικές ιδιότητες. Σελίδες 33-34, 49-53 από το κύριο σύγγραμμα και 311-316 από το βιβλίο του Carothers.

6η Εβδομάδα (30 Οκτωβρίου, 2 Νοεμβρίου) : Οριακά θεωρήματα (φραγμένης, μονότονης, και κυριαρχημένης σύγκλισης, λήμμα Fatou), εναλλαγή άπειρου αθροίσματος και ολοκληρώματος, εφαρμογές οριακών θεωρημάτων, θεωρήματα προσέγγισης στον L^1 από κλιμακωτές και συνεχείς, εφαρμογές θεωρημάτων προσέγγισης. Σελίδες 53-67 και 71-73 από το κύριο σύγγραμμα.

7η Εβδομάδα (6, 9 Νοεμβρίου) : Λύση ασκήσεων από τα φυλλάδια 1-4 και πρόοδος.

8η Εβδομάδα (13, 16 Νοεμβρίου) : O χώρος των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, πληρότητα, οι χώροι L^p και βασικές ιδίοτητες τους, προετοιμασία για το θεώρημα Fubini, θεώρημα Fubini και Tonelli και εφαρμογές τους. Σελίδες 68-71 και 75-83 από το κύριο σύγγραμμα.

9η Εβδομάδα (20, 22 Νοεμβρίου) : Γράφημα μετρήσιμης συνάρτησης και εμβαδό κάτω από το γράφημα, συνέλιξη συναρτήσεων και προσεγγίσεις της μονάδας, παραδείγματα γενικών χώρων με μέτρο, εξωτερικά μέτρα, μετρησιμότητα κατά Καραθεοδωρή. Σελίδες 83-86, άσκηση 21, σελίδες 108-114 (αποδείξαμε όμως μόνο σύγκλιση στον L^1) και 261-268 από το κύριο σύγγραμμα.

10η Εβδομάδα (27, 30 Νοεμβρίου) : Θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή, θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή-Kolmogorov, μέτρα γινόμενο, μέτρα σε χώρους ακολουθιών και κατασκευή ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών, χαρακτηρισμός μέτρων πιθανότητας στην πραγματική ευθεία, διακριτά, απόλυτα συνεχή, συνεχή ιδιάζοντα μέτρα. Σελίδες 269-273, 276-277, 282-285 από το κύριο σύγγραμμα.

11η Εβδομάδα (4, 7 Δεκεμβρίου) : Γενικοί χώροι με μέτρο, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωση, οριακά θεωρήματα, θεωρήματα προσέγγισης για σ-πεπερασμένα μέτρα Borel, θεώρημα Fubini και Tonelli, προσημασμένα μέτρα, θεώρημα διάσπασης Hahn και διάσπαση Jordan, απολύτως συνεχή και ιδιάζοντα μέτρα. Σελίδες 273-279, 285-289 από το κύριο σύγγραμμα και 85-88 από το βιβλίο του Folland.

12η Εβδομάδα (18, 20, 21 Δεκεμβρίου): Θεώρημα Radon-Nikodym, μεγιστικές συναρτήσεις, το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, σημεία πυκνότητας, απόλυτα συνεχείς συναρτήσεις και γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος του απειροστικού λογισμού. Σελίδες 98-108, 127-130 από το κύριο σύγγραμμα και 88-91 από το βιβλίο του Folland.

13η Εβδομάδα (28 Ιανουαρίου): Λύση ασκήσεων από τα φυλλάδια 5-7.

Φυλλάδια Ασκήσεων