Πραγματική Ανάλυση
Εαρινό Εξάμηνο 2011
Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.
E-mail: frantzikinakis@gmail.com.
Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα 1:00-3:00 στο Αμφ ΣΠ και Τετάρτη 1:00-3:00 στην Θ202.
Κύριο Σύγγραμμα:
N. Carothers, Real Analysis (θα χρειαστούμε μόνο το Part III).
Βοηθητικό Σύγγραμμα : Σημειώσεις Θ. Μήτση
εδώ.
Γραφείο: Η 308.
Ώρες γραφείου: Τρίτη και Τετάρτη 4:00-5:00.
Ύλη: Μέτρο Lebesgue στην ευθεία, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα Lebesgue,
οριακά θεωρήματα, θεώρημα διαφόρισης Lebesgue.
Βαθμολογία: Πρόοδος 35% (γύρω στα τέλη Μαρτίου),
Τελικό διαγώνισμα 65%.
Ανακοινώσεις
28/3: Η πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Τετάρτη 6 Απριλίου
ώρα 1:00-3:00 στην Θ202 (παρακαλώ να είστε στην αίθουσα στις 1:10).
Όλα τα θέματα θα είναι ανάπτυξης.
Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει τις ενότητες
που θα έχουμε καλύψει μέχρι εκείνη την στιγμή.
Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.
7/4: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ. Oι βαθμοί της προόδου είναι εδώ.
13/4: Την Δευτέρα 2 Μαίου δεν θα γίνει μάθημα λόγο απουσίας του διδάσκοντα.
16/5: Το μάθημα της Τετάρτης 18 Μαϊου ακυρώνεται λόγο φοιτητικών εκλογών.
16/5: Το τελικό διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί την Παρασκευή 10 Ιουνίου
ώρα 1:00-4:00 στην ΡΑ101. Όλα τα θέματα θα είναι ανάπτυξης.
Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες
που καλύψαμε.
Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.
11/6: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ. Oι βαθμοί του τελικού διαγωνίσματος και
οι τελικοί σας βαθμοί είναι εδώ.
1/9: Τα θέματα της εξεταστικής του Σεπτέμβρη είναι εδώ. Oι βαθμοί είναι εδώ.
Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις
1η Εβδομάδα (14, 16 Φεβρουαρίου): Aσκήσεις επανάληψης, επανάληψη σε βασικές τοπολογiκές έννοιες στην πραγματική ευθεία.
2η Εβδομάδα (21, 23 Φεβρουαρίου): Ορισμός εξωτερικού μέτρου, βασικές ιδιότητες, το σύνολο του Cantor (σελίδες 25-29 και 263-273 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 271-272: 5, 9, 12, 16, 17, 18, 20, 21, σελίδες 273: 22, 25, 28.
3η Εβδομάδα (28 Φεβρουαρίου, 2 Μαρτίου): Βασικές ιδιότητες μετρήσιμων συνόλων
(σελίδες 277-283 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 281-283: 40, 41, 42, 44, 46.
4η Εβδομάδα (9 Μαρτίου): Προσθετικότητα μέτρου Lebesgue, σύνολα Borel, δομή μετρήσιμων συνόλων
(σελίδες 280-284 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 282-283: 48, 53, σελίδα 284: 56, 58, 59, 60.
5η Εβδομάδα (14, 16 Μαρτίου): Επιπλέον ιδιότητες μέτρου Lebesgue και θεωρήματα προσέγγισης
μετρήσιμων συνόλων, μη μετρήσιμα σύνολα, μη προσθετικότητα εξωτερικού μέτρου
(σελίδες 284-286 και 289-291 από το βιβλίο του Carothers και ασκήσεις 72, 74).
Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Μήτση, σελίδα 10: 2, 3, 4, 8, 9, 11.
6η Εβδομάδα (21, 23 Μαρτίου): Ασκήσεις στο εξωτερικό μέτρο και μέτρο Lebesgue, μετρήσιμες
συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες.
(σελίδες 296-298, 300-302, και 304-305 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 297-298: 5, 6, 7, 8, σελίδα 302: 19, 21, σελίδα 305: 31, 33.
7η Εβδομάδα (28, 30 Μαρτίου): Οι Riemann ολοκληρώσιμες είναι μετρήσιμες, η συνάρτηση Cantor-Lebesgue και ιδιότητες της,
θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συναρτήσεων από απλούστερες συναρτήσεις (απλές, κλιμακωτές, συνεχείς), θεώρημα Egorov και θεώρημα Luzin.
(σελίδες 305-309 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 299: 15-18, σελίδα 306: 36, 38, σελίδες 309-310: 41, 43, 48, 50.
8η Εβδομάδα (3, 6 Απριλίου): Ασκήσεις στις μετρήσιμες συναρτήσεις. Πρόοδος.
9η Εβδομάδα (10, 13 Απριλίου): Ολοκλήρωμα Lebesgue για απλές συναρτήσεις και βασικές ιδιότητες, ολοκλήρωμα Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις, θεώρημα
μονότονης σύγκλισης, γραμμικότητα, εφαρμογές.
(σελίδες 312-320 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 312-320: 3, 4, 5, 6, 9-17.
10η Εβδομάδα (4 Μαϊου): Ολοκλήρωμα Lebesgue για μετρήσιμες συναρτήσεις, σχέση με
ολοκλήρωμα Riemann, λήμμα Fatou, θεώρημα φραγμένης και κυριαρχημένης σύγκλισης, εφαρμογές.
(σελίδες 321-330 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδα 327: 24-26, 29-32, 34, 35.
11η Εβδομάδα (11, 13 Μαϊου): Εναλλαγή σειράς και ολοκληρώματος, θεωρήματα προσέγγισης και
εφαρμογές, ο χώρος L^1, πληρότητα και διαχωρισημότητα, οι χώροι L^p
(σελίδες 330-335, 342-351 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 332-335: 38-43, 45, 46, 50, 56-59.
12η Εβδομάδα (16 Μαϊου): Λήμμα κάλυψης Vitali, μεγιστική συνάρτηση, βασική μεγιστική ανισότητα,
το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, σημεία πυκνότητας.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers (σχετικές με προηγούμενη ύλη), σελίδες 346-351: 38, 39, 51, 52, 55, 63.
13η Εβδομάδα (23, 25 Μαϊου): Μετασχηματισμοί που διατηρούν το μέτρο Lebesgue στο
[0,1], εργοδικότητα, το εργοδικό θεώρημα του Von-Neumann και εφαρμογές, ασκήσεις επανάληψης.