Πραγματική Ανάλυση

Χειμερινό Εξάμηνο 2020

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.


Ώρες διδασκαλίας: Tρίτη και Πέμπτη 9:00-11:00 στην Α214.

Κύριο Σύγγραμμα: N. Carothers, Real Analysis (θα χρειαστούμε μόνο το Part III).

Βοηθητικό Σύγγραμμα : Σημειώσεις Θ. Μήτση εδώ.

Γραφείο: Γ 307.

Ώρες γραφείου: Τρίτη και Πέμπτη 11:00-12:00.

Ύλη: Μέτρο Lebesgue στην ευθεία, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα Lebesgue, οριακά θεωρήματα, θεώρημα διαφόρισης Lebesgue, βασικές αρχές εργοδικής θεωρίας.

Προαπαιτούμενες γνώσεις: Είναι πρακτικά αδύνατο να τα πάτε καλά στο μάθημα εάν δεν έχετε πολύ καλή γνώση της ύλης των μαθημάτων Ανάλυση Ι και ΙΙ.

Βαθμολογία: Τελικό διαγώνισμα 100%.


Ανακοινώσεις

21/9: Εάν οι συνθήκες το επιτρέψουν οι διαλέξεις θα πραγματοποιηθούν με φυσική παρουσία. Εάν σκοπεύετε να παρακολουθείτε τις διαλέξεις (με φυσική παρουσία) παρακαλώ στείλτε μου email μέχρι την Παρασκευή 25/9.

25/9: Το πρώτο μάθημα θα γίνει την Τρίτη 6/10 με φυσική παρουσία.

29/10: Την επόμενη Πέμπτη 5/11 θα κάνουμε μία επιπλέον διάλεξη στις 11-1.

1/11: Λόγω των έκτακτων περιοριστικών μέτρων, από εδώ και στο εξής, και για όσο χρειαστεί, η παρουσίαση της ύλης θα γίνεται με βιντεοσκοπημένες διαλέξεις τις οποίες θα αναρτώ σε εβδομαδιαία βάση.

2/11: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 5ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

11/11: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 6ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

18/11: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 7ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

24/11: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 8ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

2/12: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 9ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

9/12: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 10ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

16/12: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 11ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

23/12: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 12ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

29/12: Tα βιντεοσκοπημένα μαθήματα της 13ης εβδομάδας βρίσκονται εδώ.

6/1: Το τελικό διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί διαδυκτιακά (με Ζoom) την Τετάρτη 3 Φεβρουαρίου 9:00-11:30. Όλα τα θέματα θα είναι ανάπτυξης. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που καλύψαμε εκτός από το τελευταίο μάθημα "Περίγραμμα γενικής θεωρίας μέτρου". Όσοι βαθμολογηθούν με βαθμό μεγαλύτερο του 4.5 θα εξεταστούν και προφορικά σε ημερομηνία που θα οριστεί αργότερα.

7/1: Παρακαλώ δηλώστε συμμετοχή στην εξέταση εδώ μέχρι την Τρίτη 12 Ιανουαρίου 14:00. Όσοι δηλώσετε συμμετοχή θα λάβετε επιπλέον πληροφορίες για την εξέταση προς το τέλος του μήνα.


Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις


1η Εβδομάδα (6, 8 Οκτωβρίου): Επανάληψη σε ιδιότητες αριθμήσιμων συνόλων και βασικές τοπολογικές έννοιες στην πραγματική ευθεία (ανοιχτά και κλειστά σύνολα, συμπάγεια), δομή ανοιχτών συνόλων, πλάνο κατασκευής του ολοκληρώματος Lebesgue (σελίδες 51-56, 63-68, 108-113, 263-265 από το βιβλίο του Carothers).

2η Εβδομάδα (13, 15 Οκτωβρίου): Ορισμός εξωτερικού μέτρου, βασικές ιδιότητες, εξωτερικό μέτρο διαστημάτων, υποπροσθετικότητα, εξωτερικό μέτρο ένωσης συνόλων με θετική απόσταση (σελίδες 263-273 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 271-272: 5, 9, 12, 16, 17, 18, 20, 21, σελίδα 273: 22, 25, 28.

3η Εβδομάδα (20, 22 Οκτωβρίου): Το σύνολο του Cantor, ορισμός και βασικές ιδιότητες μετρήσιμων συνόλων, τα μετρήσιμα είναι σ-άλγεβρα που περιέχει τα διαστήματα, σ-προσθετικότητα του μέτρου Lebesgue (σελίδες 25-29 και 277-283 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 281-283: 40, 41, 42, 44, 46.

4η Εβδομάδα (27, 29 Οκτωβρίου): Σύνολα Borel, δομή μετρήσιμων συνόλων, επιπλέον ιδιότητες μέτρου Lebesgue και θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συνόλων, limsup συνόλων και θεώρημα Borel Cantelli (σελίδες 280-286 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 282-283: 48, 53, σελίδα 284: 56, 58, 59, 60, σελίδα 286: 62, 64.

5η Εβδομάδα (2-8 Νοεμβρίου): Μη μετρήσιμα σύνολα, το σύνολο Vitali, μη προσθετικότητα εξωτερικού μέτρου και σχετικά αντιπαραδείγματα. Ασκήσεις στο εξωτερικό μέτρο και μέτρο Lebesgue (σελίδες 284-286 και 289-291 από το βιβλίο του Carothers και ασκήσεις 72, 74). Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Μήτση, σελίδα 10: 2, 3, 4, 8, 9, 11. Bίντεο.

6η Εβδομάδα (9-15 Νοεμβρίου): Μετρήσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, κατά σημείο όριο μετρήσιμων είναι μετρήσιμη, σύνολο ασυνεχειών και μετρησιμότητα Riemann ολοκληρώσιμων συναρτήσεων (σελίδες 274-275, 296-298, 300-302, και 304-305 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 276-277: 31, 37, 297-298: 5, 6, 7, 8, σελίδα 299: 13, 15, 17, σελίδα 302: 19, 21, σελίδα 305: 31, 33. Bίντεο.

7η Εβδομάδα (16-22 Νοεμβρίου): Η συνάρτηση Cantor-Lebesgue και ιδιότητες της, θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συναρτήσεων από απλούστερες συναρτήσεις (απλές, κλιμακωτές, συνεχείς), θεώρημα Egorov και θεώρημα Lusin (σελίδες 305-309 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδa 299: 18, σελίδα 306: 36, 38, σελίδες 309-310: 41, 43, 48, 50. Bίντεο.

8η Εβδομάδα (23-29 Νοεμβρίου): Ασκήσεις στις μετρήσιμες συναρτήσεις. Ολοκλήρωμα Lebesgue για απλές συναρτήσεις και βασικές ιδιότητες (σελίδες 312-314 από το βιβλίο του Carothers). Bίντεο.

9η Εβδομάδα (30 Νοεμβρίου-6 Δεκεμβρίου): Oλοκλήρωμα Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, σχέση με ολοκλήρωμα Riemann, θεώρημα μονότονης σύγκλισης, γραμμικότητα ολοκληρώματος, εναλλαγή σειράς και ολοκληρώματος για μη αρνητικές συναρτήσεις (σελίδες 315-330 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 312-321: 3, 4, 5, 6, 9-17. Bίντεο.

10η Εβδομάδα (7-13 Δεκεμβρίου): Λήμμα Fatou, θεώρημα φραγμένης και κυριαρχημένης σύγκλισης, εναλλαγή σειράς και ολοκληρώματος, ομοιόμορφη και απόλυτη συνέχεια αόριστου ολοκληρώματος, θεωρήματα προσέγγισης και εφαρμογές, λήμμα Riemann-Lebesgue (σελίδες 328-335 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδα 327: 24-26, 29-32, 34, 35, σελίδες 332-335: 38-43, 45, 46, 50, 56-59. Bίντεο.

11η Εβδομάδα (14-20 Δεκεμβρίου): Oι χώροι L^1, L^2, L^\infty, πληρότητα (οι αποδείξεις που έδωσα είναι διαφορετικές από αυτές του βιβλίου), θεωρήματα προσέγγισης και διαχωρισιμότητα L^1, L^2, οι χώροι L^p (σελίδες 342-351 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers (σχετικές με προηγούμενη ύλη), σελίδες 342-351: 38, 39, 51, 52, 55, 56, 62, 63. Bίντεο.

12η Εβδομάδα (21-27 Δεκεμβρίου): Ασκήσεις στο ολοκλήρωμα Lebesgue. Bίντεο.

13η Εβδομάδα (28-30 Δεκεμβρίου): Λήμμα κάλυψης Vitali, μεγιστική συνάρτηση, μεγιστική ανισότητα, το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, σημεία πυκνότητας, περίγραμμα γενικής θεωρίας μέτρου. Bίντεο.