Πραγματική Ανάλυση

Χειμερινό Εξάμηνο 2020

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.


Ώρες διδασκαλίας: Tρίτη και Πέμπτη 9:00-11:00 στην Α214.

Κύριο Σύγγραμμα: N. Carothers, Real Analysis (θα χρειαστούμε μόνο το Part III).

Βοηθητικό Σύγγραμμα : Σημειώσεις Θ. Μήτση εδώ.

Γραφείο: Γ 307.

Ώρες γραφείου: Τρίτη και Πέμπτη 11:00-12:00.

Ύλη: Μέτρο Lebesgue στην ευθεία, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα Lebesgue, οριακά θεωρήματα, θεώρημα διαφόρισης Lebesgue, βασικές αρχές εργοδικής θεωρίας.

Προαπαιτούμενες γνώσεις: Είναι πρακτικά αδύνατο να τα πάτε καλά στο μάθημα εάν δεν έχετε πολύ καλή γνώση της ύλης των μαθημάτων Ανάλυση Ι και ΙΙ.

Βαθμολογία: Τελικό διαγώνισμα 100%.


Ανακοινώσεις

21/9: Εάν οι συνθήκες το επιτρέψουν οι διαλέξεις θα πραγματοποιηθούν με φυσική παρουσία. Εάν σκοπεύετε να παρακολουθείτε τις διαλέξεις (με φυσική παρουσία) παρακαλώ στείλτε μου email μέχρι την Παρασκευή 25/9.

25/9: Το πρώτο μάθημα θα γίνει την Τρίτη 6/10 με φυσική παρουσία.

29/10: Την επόμενη Πέμπτη 5/11 θα κάνουμε μία επιπλέον διάλεξη στις 11-1.


Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις


1η Εβδομάδα (6, 8 Οκτωβρίου): Επανάληψη σε ιδιότητες αριθμήσιμων συνόλων και βασικές τοπολογικές έννοιες στην πραγματική ευθεία (ανοιχτά και κλειστά σύνολα, συμπάγεια), δομή ανοιχτών συνόλων, πλάνο κατασκευής του ολοκληρώματος Lebesgue (σελίδες 51-56, 63-68, 108-113, 263-265 από το βιβλίο του Carothers).

2η Εβδομάδα (13, 15 Οκτωβρίου): Ορισμός εξωτερικού μέτρου, βασικές ιδιότητες, εξωτερικό μέτρο διαστημάτων, υποπροσθετικότητα, εξωτερικό μέτρο ένωσης συνόλων με θετική απόσταση (σελίδες 263-273 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 271-272: 5, 9, 12, 16, 17, 18, 20, 21, σελίδα 273: 22, 25, 28.

3η Εβδομάδα (20, 22 Οκτωβρίου): Το σύνολο του Cantor, ορισμός και βασικές ιδιότητες μετρήσιμων συνόλων, τα μετρήσιμα είναι σ-άλγεβρα που περιέχει τα διαστήματα, σ-προσθετικότητα του μέτρου Lebesgue (σελίδες 25-29 και 277-283 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 281-283: 40, 41, 42, 44, 46.

4η Εβδομάδα (27, 29 Οκτωβρίου): Σύνολα Borel, δομή μετρήσιμων συνόλων, επιπλέον ιδιότητες μέτρου Lebesgue και θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συνόλων, limsup συνόλων και θεώρημα Borel Cantelli (σελίδες 280-286 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 282-283: 48, 53, σελίδα 284: 56, 58, 59, 60, σελίδα 286: 62, 64.