ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Εαρινό Εξάμηνο 2021

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Θα συνεννοηθούμε.

Βασικά Συγγράμματα:
(1) A. N. Shiryaev, Probability. Graduate Texts in Mathematics v. 95.
(2) Kai Lai Chung, A Course in Probability. 3rd edition.

Αλλα Συγγράμματα:
(3) P. Billingsley, Probability and Measure.
(4) R. Durrett, Probability: Theory and Examples.

Γραφείο: Γ307.

Ύλη: Κατασκευή χώρων πιθανότητας, τυχαίες μεταβλητές, κατασκευή στοχαστικών διαδικασιών, ανεξαρτησία, μέση τιμή, η πιθανοθεωρητική μέθοδος σε συνδυαστική και θεωρία αριθμών, είδη σύγκλισης (σχεδόν βέβαια, κατά τετραγωνικό μέσο, κατά πιθανότητα, κατά κατανομή), νόμος 0-1 Kolmogorov, ασθενής και ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών, θεώρημα τριών σειρών, νόμος επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου Khinchin-Kolmogorov, εφαρμογές οριακών θεωρημάτων, χαρακτηριστικές συναρτήσεις, το κεντρικό οριακό θεώρημα για ανεξάρτητες και εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές (συνθήκη Lindeberg), εφαρμογές οριακών θεωρημάτων, δεσμευμένη μέση τιμή, (sub)-martingales, οριακά θεωρήματα και εφαρμογές (κομμάτια από από τα Kεφάλαια 2-4 του βιβλίου του Shiryaev και τα Kεφάλαια 2-7 του βιβλίου του Kai Lai Chung).

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 20%, Τελικό διαγώνισμα: 80%.

Ανακοινώσεις

22/1: Eάν ενδιαφέρεστε να παρακολουθήσετε το μάθημα παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου με email.

29/1: Ουσιαστικό προαπαιτούμενο για το μάθημα είναι η καλή γνώση της γενικής Θεωρίας Μέτρου. Εάν σκοπεύετε να πάρετε το μάθημα, όμως δεν έχετε παρακολουθήσει το μεταπτυχιακό μάθημα Πραγματικής Ανάλυσης, παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου.

8/2: H πρώτη διαδικτυακή συνάντηση θα γίνει την Τετάρτη 1-4. Το zoom link έχει σταλεί στους ενδιαφερόμενους με email.

12/5: H τελευταία διαδικτυακή συνάντηση θα γίνει τη Δευτέρα 17 Μαϊου 1-4.

13/5: Το τελικό διαγώνισμα θα γίνει στις 14 Ιουνίου 11:00-15:00 διαδικτυακά.

15/6: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (8-14 Φεβρουαρίου): Εισαγωγή, βασικά πιθανοθεωρητικά μοντέλα, χώροι ακολουθιών, κυλινδρικά σύνολα, άλγεβρες συνόλων.

2η Εβδομάδα (15-21 Φεβρουαρίου): Πεπερασμένα και σ-προσθετικά μέτρα σε άλγεβρες συνόλων, σ-άλγεβρες και Borel σ-άλγεβρες, μονότονες κλάσεις παραγόμενες από οικογένειες συνόλων, θεώρημα μονότονης κλάσης, Θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή, συναρτήσεις κατανομής στον R, θεώρημα δομής μέτρων πιθανότητας στον R, διακριτά και ιδιάζοντα μέτρα πιθανότητας (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.1, ΙΙ.2, σελ. 131-144, 151-159 Shiryaev).

3η Εβδομάδα (22-28 Φεβρουαρίου): Συναρτήσεις κατανομής στον R^n, θεώρημα δομής μέτρων πιθανότητας στον R^n, θεώρημα επέκτασης Kolmogorov και μέτρα πιθανότητας σε χώρους ακολουθιών (με τιμές στον R και στο {0,1}), πορίσματα, πλήρωση χώρου πιθανότητας, τυχαίες μεταβλητές και βασικές ιδιότητες, συνάρτηση κατανομής, σ-άλγεβρα παραγόμενη από τυχαία μεταβλητή (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.2, ΙΙ.3, ΙΙ.4, ΙΙ.5, ΙΙ.9 σελ. 144-147, 159-166, 170-176 Shiryaev).

4η Εβδομάδα (1-7 Μαρτίου): Τυχαία διανύσματα και κατανομή αυτών, ανεξαρτησία, θεώρημα επέκτασης Kolmogorov για τυχαίες ακολουθίες, κατασκευή ακολουθίας ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με δεδομένες κατανομές, μέση τιμή, βασικές ιδιότητες, ανισότητες, και οριακά θεωρήματα, μέση τιμή γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.4, ΙΙ.5, ΙΙ.6, ΙΙ.9 σελ. 171-180, 180-202, 245-248 Shiryaev).

5η Εβδομάδα (8-14 Μαρτίου): Ανισότητα Chebyshev, εφαρμογές πιθανοθεωρητικής μεθόδου Ι (μέθοδος Monte Carlo για εκτίμηση εμβαδού, πλήθος πρώτων παραγόντων, προσθαφαιρέσεις διανυσμάτων, μονοχρωματικά τρίγωνα, αριθμητικές πρόοδοι), ανισότητες τύπου Chernoff, εφαρμογές πιθανοθεωρητικής μεθόδου ΙΙ (προσθαφαιρέσεις διανυσμάτων, ασυμπτωτικές προσθετικές βάσεις), (slides Κολουντζάκη εδώ ).

6η Εβδομάδα (15-21 Μαρτίου): Είδη σύγκλισης, σχεδόν βέβαια, κατά τετραγωνικό μέσο, κατά πιθανότητα, λήμμα Borel-Cantelli, νόμος 0-1 Kolmogorov και Hewitt-Savage, τυχαίος περίπατος στους ακεραίους, "εύκολα" οριακά θεωρήματα για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές (με χρήση 2nd moment), (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.10, IV.1, IV.2 σελ. 252-262 και 380-383 Shiryaev, επίσης Chung σελ. 106-109).

7η Εβδομάδα (22-28 Μαρτίου): Κατά σημείο οριακά θεωρήματα για ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές (με χρήση 4th moments, exponential moments), ισχυρός νόμος μεγάλος αριθμών (απόδειξη Etemadi), μεγιστικές ανισότητες Kolmogorov, θεώρημα σύγκλισης σειρών Kolmogorov-Κhinchin, (μέρος από τις παραγράφους IV.2, IV.3 σελ. 384-386, 388-389 Shiryaev, επίσης Billingsley Θεώρημα 22.1 για την απόδειξη του Etemadi).

8η Εβδομάδα (29 Mαρτίου-4 Απριλίου): Θεώρημα σύγκλισης τριών σειρών Kolmogorov, δεύτερη απόδειξη του ισχυρού νόμου μεγάλων αριθμών, νόμος επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου Khinchin, (μέρος από τις παραγράφους IV.2, IV.3 σελ. 387-394 Billingsley Θεώρημα 9.4-9.6 για την απόδειξη του νόμου επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου, επίσης Chung σελ. 109-111, 145-146).

9η Εβδομάδα (5-11 Απριλίου): Eφαρμογές οριακών θεωρημάτων (κανονικοί αριθμοί, το θεώρημα προσέγγισης του Weierstrass, ισοκατανομή τυχαίων ακολουθιών), σύγκλιση κατά κατάνομη, ισοδύναμοι ορισμοί, (σελ. 256 και παράγραφοι IV.3 σελ. 394-395, ΙΙΙ.1, ΙΙΙ.2 σελ. 308-315 Shiryaev).

10η Εβδομάδα (12-18 Απριλίου): Aσθενής σύγκλιση μέτρων, σχετική συμπάγεια, θεώρημα Prokhorov, χαρακτηριστικές συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, θεώρημα αντιστροφής και μοναδικότητας, θεώρημα συνέχειας, (παράγραφοι ΙΙ.12 σελ. 274-286 και ΙΙΙ.2 σελ. 311-324 Shiryaev).

11η Εβδομάδα (19-25 Απριλίου): Το κεντρικό οριακό θεώρημα για ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές, τo οριακό θεώρημα Poisson, το κεντρικό οριακό θεώρημα για ανεξάρτητες (όχι υποχρεωτικά ισόνομες) τυχαίες μεταβλητές (συνθήκη Lindeberg), stable laws. (παράγραφοι ΙΙΙ.3, ΙΙΙ.4, σελ. 325 -333, και ΙΙΙ.6 σελ 344-348 Shiryaev).

12η Εβδομάδα (8-14 Μαϊου): Δεσμευμένη μέση τιμή, βασικές ιδιότητες, martingales, παραδείγματα martingales, sub-martingales, reverse martingales. (μέρος από τις παραγράφους 34-35 Billingsley).

13η Εβδομάδα (15-21 Μαϊου): Θεώρημα σύγκλισης Doob για sub-martingales και reverse martingales, ομοιόμορφα ολοκληρώσιμα martingales και θεώρημα σύγκλισης στον L^1, Εφαρμογές: θεώρημα μίας σειράς Kolmogorov, ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών, γινόμενα ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, σχεδόν παντού διαφόριση Lip-συνεχών συναρτήσεων, θεώρημα σύγκλισης Levy για δεσμευμένη μέση τιμή συνάρτησης ως προς αύξουσα ή φθίνουσα ακολουθία σ-αλγεβρών. (μέρος από την παραγράφο 35 Billingsley και VII.1 σελ 474-475, VII.3 σελ 503-504, VII.4 σελ 508-513 Shiryaev).

Φυλλάδια Ασκήσεων