ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Εαρινό Εξάμηνο 2021

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.


Ώρες διδασκαλίας: Θα συνεννοηθούμε.

Βασικά Συγγράμματα:
(1) A. N. Shiryaev, Probability. Graduate Texts in Mathematics v. 95.
(2) Kai Lai Chung, A Course in Probability. 3rd edition.

Αλλα Συγγράμματα:
(3) P. Billingsley, Probability and Measure.
(4) R. Durrett, Probability: Theory and Examples.

Γραφείο: Γ307.

Ύλη: Κατασκευή χώρων πιθανότητας, τυχαίες μεταβλητές, κατασκευή στοχαστικών διαδικασιών, ανεξαρτησία, μέση τιμή, η πιθανοθεωρητική μέθοδος σε συνδυαστική και θεωρία αριθμών, είδη σύγκλισης (σχεδόν βέβαια, κατά τετραγωνικό μέσο, κατά πιθανότητα, κατά κατανομή), νόμος 0-1 Kolmogorov, ασθενής και ισχυρός νόμος μεγάλων αριθμών, θεώρημα τριών σειρών, νόμος επαναλαμβανόμενου λογαρίθμου Khintchine, εφαρμογές οριακών θεωρημάτων, χαρακτηριστικές συναρτήσεις, το κεντρικό οριακό θεώρημα για ανεξάρτητες και εξαρτημένες τυχαίες μεταβλητές (συνθήκη Lindeberg), εφαρμογές οριακών θεωρημάτων, δεσμευμένη μέση τιμή, (sub)-martingales, οριακά θεωρήματα και εφαρμογές (κομμάτια από από τα Kεφάλαια 2-4 του βιβλίου του Shiryaev και τα Kεφάλαια 2-7 του βιβλίου του Kai Lai Chung).

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 20%, Τελικό διαγώνισμα: 80%.


Ανακοινώσεις

22/1: Eάν ενδιαφέρεστε να παρακολουθήσετε το μάθημα παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου με email.

29/1: Ουσιαστικό προαπαιτούμενο για το μάθημα είναι η καλή γνώση της γενικής Θεωρίας Μέτρου. Εάν σκοπεύετε να πάρετε το μάθημα, όμως δεν έχετε παρακολουθήσει το μεταπτυχιακό μάθημα Πραγματικής Ανάλυσης, παρακαλώ επικοινωνήστε μαζί μου.

8/2: H πρώτη διαδικτυακή συνάντηση θα γίνει την Τετάρτη 1-3. Το zoom link έχει σταλεί στους ενδιαφερόμενους με email.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (8-14 Φεβρουαρίου): Εισαγωγή, βασικά πιθανοθεωρητικά μοντέλα, χώροι ακολουθιών, κυλινδρικά σύνολα, άλγεβρες συνόλων.

2η Εβδομάδα (15-21 Φεβρουαρίου): Πεπερασμένα και σ-προσθετικά μέτρα σε άλγεβρες συνόλων, σ-άλγεβρες και Borel σ-άλγεβρες, μονότονες κλάσεις παραγόμενες από οικογένειες συνόλων, θεώρημα μονότονης κλάσης, Θεώρημα επέκτασης Καραθεοδωρή, συναρτήσεις κατανομής στον R, θεώρημα δομής μέτρων πιθανότητας στον R, διακριτά και ιδιάζοντα μέτρα πιθανότητας (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.1, ΙΙ.2, σελ. 131-144, 151-159 Shiryaev). (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.2, ΙΙ.3, σελ. 151-165 Shiryaev).

3η Εβδομάδα (22-28 Φεβρουαρίου): Συναρτήσεις κατανομής στον R^n, θεώρημα δομής μέτρων πιθανότητας στον R^n, θεώρημα επέκτασης Kolmogorov και μέτρα πιθανότητας σε χώρους ακολουθιών (με τιμές στον R και στο {0,1}), πορίσματα, πλήρωση χώρου πιθανότητας, τυχαίες μεταβλητές και βασικές ιδιότητες, συνάρτηση κατανομής, σ-άλγεβρα παραγόμενη από τυχαία μεταβλητή (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.2, ΙΙ.3, ΙΙ.4, ΙΙ.5, ΙΙ.9 σελ. 144-147, 159-166, 170-176 Shiryaev).

4η Εβδομάδα (12, 14 Μαρτίου): τυχαία διανύσματα και κατανομή αυτών, ανεξαρτησία, θεώρημα επέκτασης Kolmogorov για τυχαίες ακολουθίες, κατασκευή ακολουθίας ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με δεδομένες κατανομές, μέση τιμή, βασικές ιδιότητες, ανισότητες, και οριακά θεωρήματα, μέση τιμή γινομένου ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών, (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.4, ΙΙ.5, ΙΙ.6, ΙΙ.9 σελ. 171-180, 180-202, 245-248 Shiryaev).


Φυλλάδια Ασκήσεων

  • 1ο Φυλλάδιο


  • 2ο Φυλλάδιο


  • 3ο Φυλλάδιο