Εργασίες στη Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι

Γενικές οδηγίες

Γιά την εργασία σας μπορείτε να επιλέξετε είτε

(α) ένα από τα παρακάτω θέματα είτε
(β) μία παραλλαγή ενός από τα παρακάτω θέματα είτε
(γ) κάποιες από τις ασκήσεις που δίνονται στις σημειώσεις

Η αξιολόγηση της εργασίας θα βασιστεί στα εξής κριτήρια:

(α) την πληρότητά της
(β) την χρήση των γνώσεων από το μάθημα και το εργαστήριο
(γ) την κατανόησή της
Μπορείτε να κάνετε το αριθμητικό μέρος της εργασίας χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε γλώσσα (π.χ., C, matlab, κλπ).

Γιά την τελική επιλογή του θέματός σας και την οργάνωση της ομάδας εργασίας συμβουλευθείτε τον διδάσκοντα.

Εργαλεία μαθηματικής μοντελοποίησης

Υπάρχει η δυνατότητα να κάνετε την εργασία με το πακέτο diffpack, το οποίο είναι μία αντικειμενοστραφής γλώσσα (όπως η C++) εξαιρετική γιά μαθηματική μοντελοποίηση.
Σχετικές άδειες γιά το πακέτο (και συμβουλευτική υποστήριξη) θα παρασχεθούν από την ομάδα που το διαχειρίζεται.

Εάν θέλετε να δώσετε βάρος στην παρουσίαση δείτε ένα παράδειγμα παρουσίαστης (πέρα από τα συνηθισμένα, πράγμα που θα συνεκτιμηθεί στην αξιολόγηση): εδώ.

Ένα άλλο ενδιαφέρον εργαλείο γιά δημιουργία μαθηματικών applications είναι το Wolfram Alpha.

Κάτι μάλλον πιό απλό είναι το το Wolfram Demostrations Project.

1. Πληθυσμιακά μοντέλα ανταγωνισμού ειδών

Μελετήστε αναλυτικά ένα από τα παρακάτω μοντέλα και κάνετε συσχετίσεις με τα υπόλοιπα παρόμοια μοντέλα.

1.1 Πληθυσμιακό μοντέλο I
Έστω το ακόλουθο μοντέλο το οποίο περιγράφει τους πληθυσμούς x,y δύο ειδών τα οποία ανταγωνίζονται για το ίδιο είδος τροφής:
dN₁/dt = [ a₁ - d₁(b N₁+c N₂)] N₁
dN₂/dt = [ a₂ - d₂(b N₁+c N₂)] N₂

Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
Κάνετε αδιαστατοποίηση των εξισώσεων.
Βρείτε τα σημεία ισορροπίας. Μελετήστε την ευστάθεια.
Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά δύο σετ τιμών των a,b,r.

Εξηγήστε τις ισοκλινικές καμπύλες. (μπορείτε να κοιτάξετε το βιβλίο του A. Hastings σελ. 135 και εξής).

Δώστε ορισμένα ενδιαφέροντα συμπεράσματα που προκύπτουν από τη μελέτη του μοντέλου. Γιά παράδειγμα:

Μελετήστε τη "Volterra's exclusion principle".

(Δείτε από το βιβλίο Jordan & Smith την άσκηση 2.43).

1.2 Πληθυσμιακό μοντέλο ΙΙ
Μελετήστε όπως στην περίπτωση του πληθυσμικού μοντέλου Ι το ακόλουθο:
dH/dt = (a₁ - b₁ H - c₁ P) H
dP/dt = (a₂ - b₂ P + c₂ H) P
(Δείτε την άσκηση 2.13 των Jordan & Smith.)

1.3 Πληθυσμιακό μοντέλο ΙΙΙ
Μελετήστε όπως στην περίπτωση του πληθυσμικού μοντέλου Ι το ακόλουθο:
dH/dt = (a₁ - b₁ H - c₁ P) H
dP/dt = (-a₂ + c₂ H) P
(Δείτε από το βιβλίο των Jordan & Smith την άσκηση 2.12.)

Άλλα πληθυσμιακά μοντέλα
Μελετήστε άλλα πληθυσμιακά μοντέλα (π.χ. από το βιβλίο των Barnes & Fulford, κεφ. 8).

Βιβλιογραφία: (1) Barnes & Fulford, παρ. 5.3, 5.5, (2) J.D. Murray, "Mathematical Biology" (3) Hastings.

2. Διάδοση επιδημίας

2.1 Μοντέλο Ι
Θεωρήστε το μοντέλο διάδωσης επιδημίας
dx/dt = -b x y
dy/dt = b x y - c y
dz/dt = c y,
όπου a,b,c θετικές σταθερές, και x οι υγιείς οι οποίοι δεν έχουν αρρωστήσει, y οι άρρωστοι και z αυτοί που έχουν αναρρώσει και άρα έχουν ανοσία.

Εξηγήστε τι παριστάνουν οι όροι στις εξισώσεις.
Βρείτε τα σημεία ισορροπίας.
Βρείτε την εξίσωση των καμπυλών του διαγράμματος φάσεων στο επίπεδο (x,y)
Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων στο επίπεδο (x,y).
Εφαρμόστε το μοντέλο γιά ένα συγκεκριμένο πρόβλημα (δηλ., δώστε τιμές στις παραμέτρους, και υπολογίστε κάποιο χρήσιμο αποτέλεσμα).

Παραθέστε άλλα σχετικά μοντέλα επιδημιών και εξηγήστε πώς συνδέονται με αυτό το μοντέλο.
Βιβλιογραφία: (1) Barnes & Fulford, παρ. 5.2, 8.7, (2) Jordan & Smith, κεφ. 2.

2.2 Άλλα μοντέλα επισημιών
Βρείτε στη βιβλιογραφία και μελετήστε άλλα μοντέλα επισημιών.

3. Χημικές αντιδράσεις

3.1 Oregonator
Μελετήστε το μοντέλο χημικής αντίδρασης με το όνομα Oregonator.

Εξηγήστε τι πρόβλημα μοντελοποιείται
Γράψτε τις εξισώσεις
Δώστε τις εξισώσεις σε αδιάστατη μορφή
Βρείτε αριθμητικά λύσεις των εξισώσεων
Εξηγήστε τι σημαίνουν οι λύσεις γιά την χημική αντίδραση (δώστε παράδειγμα με συγκεκριμένα νούμερα)

Πηγές: Μπορείτε να δείτε μία πλήρη εργασία γιά το Oregonator με χρήση GUI στο matlab εδώ.

3.2 Brusselator
Ασχοληθείτε με την άσκηση 2.46 των Jordan & Smith. (Μοντέλο χημικής αντίδρασης.)
Πηγές: εδώ

3.3 Χημική αντίδραση Belusov-Zhabotinsky
Πρόκειται γιά ένα σύστημα σε δύο χωρικές διαστάσεις.
Πηγές: (1) Δείτε επεξηγήσεις εδώ. (2) Μία εισαγωγή στο θέμα εδώ.

4. Κίνηση δινών

Περίπτωση δύο δινών

Δώστε την αναλυτική λύση γιά την τροχιά δύο δινών (γιά κάθε Q₁, Q₂).
Σχεδιάστε τις τροχιές των δινών (γιά ορισμένες παραμέτρους και αρχικές συνθήκες)
Κατασκευάστε κώδικα ο οποίος να δίνει την κίνηση δύο δινών.

Περίπτωση τριών δινών

Γράψτε την Lagrangian γιά τρείς αλληλεπιδρώσες δίνες.
Γράψτε τις (έξι) εξισώσεις κίνησης.
Βρείτε τις διατηρήσιμες ποσότητες που αντιστοιχούν στην ενέργεια και στον οδηγό της κίνησης.
Δώστε αριθμητική λύση στο πρόβλημα γιά συγκεκριμένες ενδιαφέρουσες αρχικές συνθήκες.
Δείξτε αριθμητικά ότι οι διατηρήσιμες ποσότητες πράγματι μένουν αμετάβλητες κατά την κίνηση.

Δείτε ένα εργαλείο γιά αυτό το πρόβλημα (από το Wolfram Demonstrations).
Βιβλιογραφία: (1) σημειώσεις του μαθήματος, (2) αυτό το άρθρο, (3) P.K. Newton, "The N-vortex problem"

Κίνηση μαγνητικών δινών

Περίπτωση δύο δινών

Γράψτε την Lagrangian γιά δύο αλληλεπιδρώσες μαγνητικές δίνες.
Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης γιά οποιαδήποτε Q₁, Q₂, κ₁, κ₂.
Βρείτε τις διατηρήσιμες ποσότητες που αντιστοιχούν στην ενέργεια και στον οδηγό της κίνησης.
Εάν Q₁=1=Q₂, πόσες δυνατότητες υπάρχουν;
Δώστε αριθμητική λύση στο πρόβλημα γιά συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες.
Δείξτε αριθμητικά ότι οι διατηρήσιμες ποσότητες πράγματι μένουν αμετάβλητες κατά την κίνηση.

Περίπτωση τριών δινών

Γράψτε την Lagrangian γιά τρείς αλληλεπιδρώσες μαγνητικές δίνες.
Γράψτε τις (έξι) εξισώσεις κίνησης.
Βρείτε τις διατηρήσιμες ποσότητες που αντιστοιχούν στην ενέργεια και στον οδηγό της κίνησης.
Δώστε αριθμητική λύση στο πρόβλημα γιά συγκεκριμένες ενδιαφέρουσες αρχικές συνθήκες.
Δείξτε αριθμητικά ότι οι διατηρήσιμες ποσότητες πράγματι μένουν αμετάβλητες κατά την κίνηση.

Βιβλιογραφία: (1) σημειώσεις του μαθήματος, (2) αυτό το άρθρο, (3) P.K. Newton, "The N-vortex problem"

Ν δίνες

Γράψτε την Lagrangian γιά N αλληλεπιδρώσες δίνες.
Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης (σε διάφορες ενδιαφέρουσες μορφές).
Βρείτε τις διατηρήσιμες ποσότητες που αντιστοιχούν στην ενέργεια και στον οδηγό της κίνησης.
Δώστε αριθμητική λύση στο πρόβλημα γιά συγκεκριμένες ενδιαφέρουσες αρχικές συνθήκες.

Βιβλιογραφία: P.K. Newton "The N-vortex problem".

5. Φορτία σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο

Εξισώσεις φορτίου σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο

Περιγράψτε την θεωρία (εξίσωση κίνησης) γιά φορτίο q σε ηλεκτρικό πεδίο H και μαγνητικό πεδίο B.
Κατασκευάστε κώδικα ο οποίος να δίνει την κίνηση του σωματίου (σε ομογενή πεδία H και B).
Προσθέσθε έναν όρο στην θεωρία (και στον κώδικα) που να περιγράφει απόσβεση ενέργειας.
Σχεδιάστε την τροχιά του φορτίου (γιά ορισμένες παραμέτρους και αρχικές συνθήκες)

Δείτε ένα εργαλείο γιά αυτό το πρόβλημα (από το Wolfram Demonstrations).
Ζεύγος φορτίων σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο

Περιγράψτε την θεωρία γιά δύο αλληλεπιδρώντα φορτία q₁, q₂ σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B.
Επιλέξτε συγκεκριμένες ειδικές περιπτώσεις γιά τα φορτία q₁, q₂ και γράψτε αναλυτικά τις εξισώσεις.
Σχεδιάστε την τροχιά του φορτίου (γιά ορισμένες παραμέτρους και αρχικές συνθήκες)

Βιβλιογραφία: (1) σημειώσεις του μαθήματος, (2) D.J. Griffiths, "Εισαγωγή στην Ηλεκτροδυναμική", παρ. 5.1.2

6. Μη γραμμικά συστήματα

6.1 Αναρμονικός ταλαντωτής
d²x/dt² = -x -a x³
Κάνετε ορισμένα από τα παρακάτω:

Βρείτε τα σημεία ισορροπίας.
Μελετήστε τις περιπτώσεις a=0, a>0, a<0.
Σχεδιάστε στον υπολογιστή το διάγραμμα φάσεων για μία περίπτωση, π.χ. a=0.01 ή a=-0.01.
Βρείτε περιοδικές λύσεις (αριθμητικά).
Βρείτε με προσεγγιστική μέθοδο την περίοδο ταλάντωσης.
Βρείτε αριθμητικά την περίοδο ταλάντωσης.
Συγκρίνετε με την περίοδο ταλάντωσης του αρμονικού ταλαντωτή.

Σε συνάφεια με τα παραπάνω μελετήστε και το επόμενο:
Pendulum

Model the motion of a pendulum.
Show that, if the amplitude of oscillation is a, then the period of oscillation is equal to 4K(b), where b = |sin(a/2)| and K(b) is the complete elliptic integral of the first kind.
Use a power series representation of K(b) and find that the period of oscillation is
T = 2 π (1+ a²/16 + (11/3072)a⁴) + O(a⁶)
Solve for the period of oscillation numerically and compare with the above approximate results.

Dumped Pendulum

Include a small damping term and study the phase portrait of the equation: d²x/dt + a dx/dt + sin(x) = 0, where a is small and positive.

Βιβλιογραφία: (1) Σημειώσεις μαθήματος, (2) Jordan & Smith, (3) οποιοδήποτε βιβλίο μη-γραμμικων διαφορικών εξισώσεων.

6.2 Χαμιλτονιανά συστήματα
Ασχοληθείτε με την exercise 2.8 των Jordan & Smith (σελ. 79) και με την σχετική θεωρία (επίσης παρ. 10.5).

6.3 Οριακοί κύκλοι
Ως εισαγωγή στο θέμα:

Δώστε μία γενική μελέτη και εικόνα των οριακών κύκλων που εμφανίζονται σε διάφορα συστήματα
Μελετήστε απλά συστήματα με απόσβεση (π.χ. ταλαντωτής με απόσβεση)

Στη συνέχεια:

Μελετήστε ειδικότερα τον Van der Pol oscillator
Κάνετε αναφορά (σύντομη μελέτη) του συστήματος FitzHugh–Nagumo

Βιβλιογραφία: Jordan & Smith, παρ. 3.5

8. Εθνική οικονομία

Έστω
I: το εθνικό εισόδημα,
C: ο ρυθμός κατανάλωσης,
G: ο ρυθμός κρατικών εξόδων,
τότε ένα μοντέλο γιά την εθνική οικονομία δίνεται από
dI/dt = I - a C
dC/dt = b (I-C-G)
όπου a>1, b>=1 είναι σταθερές.

Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
Δείξτε ότι αν G=G₀ είναι σταθερά τότε υπάρχει κατάσταση ισορροπίας. Χαρακτηρίστε την κατάσταση αυτή.
Έστω G=G₀ + k I, όπου k>0. Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και μελετήστε τα.
Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά μία περίπτωση.
Έστω G=G₀ + k I², όπου k>0. Βρείτε τα σημεία ισορροπίας και μελετήστε τα.

Συγκρίνετε το παραπάνω μοντέλο με άλλα που θα βρείτε στη βιβλιογραφία.
(Δείτε από το βιβλίο των Jordan & Smith την άσκηση 2.24.)

9. Διάδοση φημών

Μία φήμη διαδίδεται σε έναν πληθυσμό N+1 ατόμων. Θεωρούμε ότι την χρονική στιγμή t
x είναι ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι δεν γνωρίζουν την φήμη,
y είναι ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι διαδίδουν την φήμη,
z είναι ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι έχουν ακούσει την φήμη αλλά δεν την διαδίδουν.
Δικαιολογήστε γιατί οι εξισώσεις
dx/dt = -μ x y
dy/dt = μ [xy - y(y-1) - yz].
(όπου μ είναι σταθερά) αποτελούν ένα μοντέλο διάδοσης φημών.

Εξηγήστε τι περιγράφουν οι όροι που εμφανίζονται στις εξισώσεις.
Γράψτε την εξίσωση γιά το z.
Βρείτε τα σημεία ισορροπίας.
Βρείτε τις εξισώσεις γιά τις φασικές καμπύλες.
Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων γιά μία τιμή του μ.
Δείξτε ότι αν γιά t=0 έχουμε y=1 και x=N, τότε ο αριθμός των ατόμων οι οποίοι δεν πρόκειται ποτέ να ακούσουν την φήμη είναι x₁, όπου 2N+1-2x₁+ N log(x₁/N)=0.

(Δείτε από το βιβλίο των Jordan & Smith την άσκηση 2.16.)

10. Χρήστες facebook

Δείτε εδώ.

Προτεινόμενα θέματα γιά εργασία στο μάθημα Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι (χειμερινό εξάμηνο 2010)