1 Εισαγωγή 1 Εισαγωγή 1.2 Επίλυση προβλημάτων συνοριακών ή και αρχικών τιμών

1.1 Διαφορικές εξισώσεις

Διαφορική Εξίσωση (Δ.Ε.) καλούμε μια εξίσωση η οποία συσχετίζει μια άγνωστη παραγωγίσιμη συνάρτηση $u$ με κάποιες από τις παραγώγους της. Αν η $u$ είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής, τότε η διαφορική εξίσωση καλείται Συνήθης Διαφορική Εξίσωση (Σ.Δ.Ε.). Ένα απλό παράδειγμα είναι η εξίσωση

u^{\prime}(t)=u(t),\quad t\in\mathbb{R}.

(1.1)

Αν η άγνωστη συνάρτηση $u$ είναι δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών, τότε η διαφορική εξίσωση συσχετίζει τη $u$ με κάποιες από τις μερικές παραγώγους της και καλείται Διαφορική Εξίσωση με Μερικές Παραγώγους ή Μερική Διαφορική Εξίσωση (Μ.Δ.Ε). Παραδείγματος χάριν, αν συμβολίσουμε με $u_{xx}$ και $u_{yy}$ τις δεύτερες μερικές παραγώγους ως προς τις μεταβλητές $x$ και $y$ , αντίστοιχα, τότε ένα παράδειγμα Μ.Δ.Ε. είναι η

u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=0.

Κάθε ομαλή συνάρτηση $\phi$ που ικανοποιεί μια διαφορική εξίσωση καλείται λύση αυτής της εξίσωσης. Παραδείγματος χάριν, όλες οι συναρτήσεις $\phi(t)=ce^{t}$ , όπου $c$ είναι μια αυθαίρετη σταθερά, αποτελούν λύσεις της (1.1). Επομένως, είναι δυνατόν να υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις οι οποίες μπορούν να ικανοποιούν μια διαφορική εξίσωση.

Αν η υψηλότερη σε τάξη παράγωγος, που εμφανίζεται σε μία Σ.Δ.Ε. είναι $\kappa$ , τότε λέμε ότι η Σ.Δ.Ε. είναι τάξης $\kappa$ . Αντίστοιχα, μια Μ.Δ.Ε. λέμε ότι είναι τάξης $\kappa$ , αν η μεγαλύτερη σε τάξη μερική παράγωγος που εμφανίζεται είναι $\kappa$ .

Τη μερική παράγωγο μιας συνάρτησης μπορούμε να τη συμβολίσουμε με τον ακόλουθο τρόπο. Έστω $d\geq 1$ ένας ακέραιος αριθμός. Τότε, ορίζουμε ως πολυδείκτη $\alpha=(\alpha_{1},\dots,\alpha_{d})$ ένα διάνυσμα του $\mathbb{R}^{d}$ , όπου οι συνιστώσες $\alpha_{i}$ είναι μη αρνητικοί ακέραιοι. Το μήκος $|\alpha|$ του πολυδείκτη $\alpha$ ορίζεται ως $|\alpha|=\sum_{i=1}^{d}\alpha_{i}$ . Για μια συνάρτηση $u:\mathbb{R}^{d}\to\mathbb{R}$ , συμβολίζουμε τις μερικές παραγώγους τάξεως $|\alpha|$ ως προς τις μεταβλητές $x_{1},\dots,x_{d}$ με

D^{\alpha}u=\dfrac{\partial^{|\alpha|}u}{\partial x_{1}^{\alpha_{1}}\dots% \partial x_{d}^{\alpha_{d}}}.

Οι διαφορικές εξισώσεις κατηγοροποιούνται σε γραμμικές και μη γραμμικές εξισώσεις. Μια Μ.Δ.Ε. $k$ τάξεως καλείται γραμμική, αν μπορεί να γραφεί στη μορφή

\sum_{|\alpha|\leq k}a_{\alpha}D^{\alpha}u=f,

(1.2)

όπου $a_{\alpha},f$ είναι κατάλληλα ομαλές συναρτήσεις ανεξάρτητες της $u$ , ορισμένες σε ένα υποσύνολο $\Omega\subset\mathbb{R}^{d}$ , διαφορετικά καλείται μη γραμμική. Επίσης, αν η $f$ είναι η μηδενική συνάρτηση, τότε η διαφορική εξίσωση (1.2) καλείται ομογενής, διαφορετικά καλείται μη ομογενής.

Εκτός από τον παραπάνω συμβολισμό της μερικής παραγώγου μιας συνάρτησης, θα χρησιμοποιήσουμε και δείκτες, π.χ.

u_{t}=\dfrac{\partial u}{\partial t},\quad u_{xx}=\dfrac{\partial^{2}u}{% \partial x^{2}},\quad u_{xy}=\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x\partial y}.

Στα επόμενα κεφάλαια θα θεωρήσουμε Μ.Δ.Ε., το πολύ, δεύτερης τάξεως, όπου η άγνωστη συνάρτηση $u$ είναι δύο μεταβλητών, π.χ. $x$ και $y$ , και περιγράφεται από μια σχέση της μορφής

F(x,y,u,u_{x},u_{y},u_{xx},u_{xy},u_{yy})=0.

(1.3)

Μερικά παραδείγματα Μ.Δ.Ε. είναι τα ακόλουθα, ορισμένα από τα οποία θα δούμε στα επόμενα κεφάλαια:

1.

Η εξίσωση της θερμότητας

$u_{t}(t,x)-\alpha u_{xx}(t,x)=f(t,x),\quad\alpha>0.$ (1.4)
2.

Η εξίσωση μεταφοράς

$u_{t}(t,x)+\alpha u_{x}(t,x)=0,\quad\alpha\in\mathbb{R},\ \alpha\neq 0.$ (1.5)
3.

Η εξίσωση του κύματος

$u_{tt}(t,x)-\alpha^{2}u_{xx}(t,x)=f(t,x),\quad\alpha>0.$ (1.6)
4.

Η εξίσωση του Poisson

$u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=f(x,y).$ (1.7)
5.

Η εξίσωση του Burgers

$u_{t}(t,x)+u(t,x)u_{x}(t,x)=0.$ (1.8)
6.

H εξίσωση του Korteweg-de Vries (KdV)

$u_{t}(t,x)+u(t,x)u_{x}(t,x)+u_{xxx}(t,x)=0.$ (1.9)

Στα παραπάνω παραδείγματα, οι εξισώσεις του Laplace, κύματος, μεταφοράς και θερμότητας είναι γραμμικές, ενώ οι εξισώσεις των Burgers και Korteweg-de Vries είναι μη γραμμικές. Στα επόμενα κεφάλαια θα θεωρήσουμε και θα μελετήσουμε αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση γραμμικών Μ.Δ.Ε.

Τις γραμμικές Μ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως μπορούμε να τις ταξινομήσουμε με τον ακόλουθο τρόπο, όπου για ευκολία θα θεωρήσουμε ότι η άγνωστη συνάρτηση $u$ είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών π.χ., $x$ και $y$ . Έστω $\Omega$ ένα υποσύνολο του $\mathbb{R}^{2}$ . Τότε, μια γραμμική Μ.Δ.Ε. δεύτερης τάξεως μπορεί να γραφεί στη μορφή

a_{11}u_{xx}+a_{12}u_{xy}+a_{22}u_{yy}+a_{1}u_{x}+a_{2}u_{y}+a_{0}u=f,\text{ σ% το }\Omega\subset\mathbb{R}^{2},

(1.10)

όπου οι $a_{11},a_{12},a_{22},a_{1},a_{12},a_{0}$ και $f$ είναι ομαλές συναρτήσεις στο $\Omega$ , ανεξάρτητες της $u$ . Με βάση το πρόσημο της ποσότητας

\mathcal{D}=a_{12}^{2}-a_{11}a_{22},

στο σημείο $(x_{0},y_{0})\in\Omega$ , η (1.10) καλείται υπερβολική, παραβολική ή ελλειπτική στο $(x_{0},y_{0})$ , αν η $\mathcal{D}$ είναι γνήσια θετική, μηδέν ή γνήσια αρνητική στο $(x_{0},y_{0})$ . Η (1.10) καλείται υπερβολική, παραβολική ή ελλειπτική στο $\Omega\subset\mathbb{R}^{2}$ , αν είναι υπερβολική, παραβολική ή ελλειπτική σε κάθε σημείο $(x_{0},y_{0})\in\Omega$ . Επομένως, η εξίσωση του κύματος (1.6) είναι υπερβολική, γιατί η αντίστοιχη ποσότητα $\mathcal{D}=1>0$ , η εξίσωση της θερμότητας (1.4) είναι παραβολική, γιατί $\mathcal{D}=0$ και η εξίσωση του Laplace (1.7) είναι ελλειπτική, διότι $\mathcal{D}=-1<0$ .

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι οι διαφορικές εξισώσεις μπορεί να έχουν πολλές λύσεις. Παραδείγματος χάριν, αν θεωρήσουμε την εξίσωση του Laplace (1.7) με $f=0$ , όλες οι συναρτήσεις της μορφής

u(x,y)=ax+by+c,\text{ με }a,b,c\in\mathbb{R},

αποτελούν λύσεις της (1.7). Επίσης, όλες οι συναρτήσεις της μορφής

u(x,t)=e^{-a^{2}t}\sin(ax),\text{ με }a\in\mathbb{R},

αποτελούν λύσεις της εξίσωσης της θερμότητας (1.4) με $f=0$ .

Μια βασική ιδιότητα των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων είναι η αρχή της υπέρθεσης ή επαλληλίας, σύμφωνα με την οποία αν έχουμε $n$ λύσεις $u_{1},u_{2},\dots,u_{n},$ μιας ομογενούς γραμμικής διαφορικής εξίσωσης, τότε και οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός τους

c_{1}u_{1}+\dots+c_{n}u_{n},\text{ με }c_{1},\dots,c_{n}\in\mathbb{R},

είναι και αυτός λύση της ίδιας διαφορικής εξίσωσης.

Ένας βασικός λόγος του ενδιαφέροντος που υπάρχει για τη μελέτη και την επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι ότι χρησιμοποιούνται για την περιγραφή διάφορων φυσικών φαινόμενων. Έτσι, μπορούμε να βρούμε την τιμή της θερμοκρασίας μιας μεταλλικής ράβδου, το ύψος ενός κύματος, την ταλάντωση μιας χορδής ή την παραμόρφωση ενός σχοινιού λόγω ενός βάρους που κρεμάμε. Αν θεωρήσουμε ότι κάτω από τις ίδιες συνθήκες ένα φυσικό φαινόμενο πρέπει να δίνει το ίδιο αποτέλεσμα, τότε και η διαφορική εξίσωση που θέλουμε να περιγράφει αυτό το φαινόμενο πρέπει να έχει μοναδική λύση. Για αυτό τον λόγο, επιβάλουμε σε αυτή τη διαφορική εξίσωση βοηθητικές συνθήκες οι οποίες πρέπει να είναι τέτοιες ώστε να έχει μοναδική λύση. Αναλόγως με το φυσικό φαινόμενο που θέλουμε να περιγράψουμε, αυτές οι βοηθητικές συνθήκες καλούνται είτε συνοριακές συνθήκες είτε αρχικές και συνοριακές συνθήκες.

Συγκεκριμένα, μια αρχική συνθήκη καθορίζει την τιμή της λύσης σε μια καθορισμένη χρονική στιγμή $t_{0}$ . Παραδείγματος χάριν, για την εξίσωση της θερμότητας, (1.4), μια αρχική συνθήκη είναι

u(x,t_{0})=\phi(x),\text{ για }x\in[a,b].

(1.11)

Αν υποθέσουμε ότι έχουμε ένα μοναδιάστατο σύρμα από το σημείο $x=a$ έως το σημείο $x=b$ , τότε η λύση $u(x,t)$ της εξίσωσης (1.4) περιγράφει την κατανομή της θερμότητας στο σημείο $x$ και στον χρόνο $t$ , και η αρχική συνθήκη (1.11) περιγράφει την κατανομή της θερμότητας στο $[a,b]$ στο χρόνο $t_{0}$ . Αν τώρα υποθέσουμε ότι μας δίνονται δύο συναρτήσεις $g$ και $h$ , και διατηρήσουμε τη θερμοκρασία $u(x,t)$ ίση με $g(t)$ στο $x=a$ και ίση με $h(t)$ στο $x=b$ , για $t\geq t_{0}$ , τότε μπορούμε να θεωρήσουμε την ακόλουθη συνοριακή συνθήκη για την (1.4)

u(a,t)=g(t),\quad u(b,t)=h(t),\quad\text{για }t\geq t_{0}.

(1.12)

Οι συνθήκες (1.12) όπου προσδιορίζεται η τιμή της λύσης $u$ στα άκρα του $[a,b]$ καλούνται συνοριακές συνθήκες Dirichlet. Αν οι τιμές στα άκρα είναι ίσες με μηδέν, τότε οι συνοριακές συνθήκες (1.12) καλούνται ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirchlet. Άλλες συνοριακές συνθήκες είναι οι συνοριακές συνθήκες Neumann, οι οποίες περιγράφονται από τις

u_{x}(a,t)=g(t),\quad u_{x}(b,t)=h(t),\quad\text{για }t\geq t_{0},

(1.13)

όπου $g, h$ είναι γνωστές συναρτήσεις. Παραδείγματος χάριν, αν μονώσουμε τα άκρα $x=a$ και $x=b$ του μονοδιάστατου σύρματος, τότε, επειδή δεν υπάρχει ροή θερμότητας από τα άκρα προς τα έξω, οι συναρτήσεις $g$ και $h$ στην (1.13) μηδενίζονται, δηλαδή οι συνοριακές συνθήκες Neumann γίνονται ομογενείς.

Υπάρχουν και άλλες συνοριακές συνθήκες, με τις οποίες όμως δεν θα ασχοληθούμε στα επόμενα κεφάλαια, όπως είναι οι συνοριακές συνθήκες Robin,

\left\{\begin{aligned}\displaystyle-u_{x}(a,t)+\sigma_{1}u(a,t)&\displaystyle=% 0,\\ \displaystyle u_{x}(b,t)+\sigma_{2}u(b,t)&\displaystyle=0,\end{aligned}\right.% \quad\text{ για }t\geq t_{0},\ \text{ με }\sigma_{1},\sigma_{2}\geq 0

(1.14)

και οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες

u(a,t)=u(b,t),\quad u_{x}(a,t)=u_{x}(b,t),\text{ για }t\geq t_{0}.

(1.15)

Για μεθόδους που υλοποιούν αυτές τις συνοριακές συνθήκες (1.14), (1.15), βλ. π.χ. στο (Ακρίβης και Δουγαλής, (2005)).

Οι διαφορικές εξισώσεις της θερμότητας, της μεταφοράς, του κύματος και του Poisson, (1.4)–(1.7), θεωρούνται θεμελιώδεις εξισώσεις, γιατί η μελέτη τους οδηγεί στην κατανόηση και ανάλυση πολλών άλλων διαφορικών εξισώσεων. Στις επόμενες παραγράφους αυτού του κεφαλαίου θα παρουσιάσουμε ορισμένες ιδιότητες αυτών των διαφορικών εξισώσων και στα επόμενα κεφάλαια θα μελετήσουμε αριθμητικές μεθόδους για την προσέγγιση της λύσης τους. Μια πιο αναλυτική παρουσιάση των διαφορικών εξισώσεων που θα θεωρήσουμε υπάρχει π.χ. στα (Ακρίβης και Αλικάκος, (2012), Logan, (2014)).