5.2 Πεπλεγμένη μέθοδος του Euler

Έτσι, θα θεωρήσουμε και πάλι μια διαμέριση του $[0,L]\times [0,T]$ όπως και πριν και θα κατασκευάσουμε προσεγγίσεις $U_j^i$ των τιμών $u(x_i,t^j)$, $i=0,\mathrm{\dots },N+1$, $j=0,\mathrm{\dots },M$, της ακριβούς λύσης του (5.1), βλέπε Σχήμα 5.1. Λόγω των αρχικών και συνοριακών συνθηκών του προβλήματος (5.1) θέτουμε και πάλι $U_0^j=U_{N+1}^j=0$, $j=0,\mathrm{\dots },M$, και $U_i^0=g(x_i)$, $i=1,\mathrm{\dots },N$. Στη συνέχεια, προσεγγίζουμε την $u_t(x_i,t^j)$ στις εξισώσεις (5.3) χρησιμοποιώντας τη διαφορά ${\delta }_k^{-}u(x_i,t^j)$ που θεωρήσαμε στην (2.1).

Έτσι, αν υποθέσουμε ότι $u_{tt}(x,t)\in C([0,L]\times [0,T])$, λόγω της (2.3), η (5.3) γίνεται για $i=1,\mathrm{\dots },N$,

$$\frac{u(x_i,t^j)-u(x_i,t^{j-1})}{k}=u_{xx}(x_i,t^j)+{\widehat{\eta }}_i^j,j=1,\mathrm{\dots },M,$$

(5.25)

όπου

$$|{\widehat{\eta }}_i^j|\le \frac{k}{2}\underset{t\in [0,T]}{\max }|u_{tt}(x_i,t)|.$$

(5.26)

Στη συνέχεια, για να προσεγγίσουμε την $u_{xx}(x_i,t^j)$, στην (5.25) χρησιμοποιούμε, όπως και στην άμεση μέθοδο του Euler, την ${\delta }_{h,2}^{c}u(x_i,t^j)$. Έτσι, αν υποθέσουμε ότι $\frac{{\partial }^4}{\partial x^4}u(x,t)\in C([0,L]\times [0,T])$, λόγω της (2.9), η (5.25) γίνεται για $i=1,\mathrm{\dots },N,$ και $j=1,\mathrm{\dots },M,$

(5.27)

όπου η ${\tilde{\eta }}_i^j$ φράσσεται και πάλι όπως στην (5.7).

Συνεπώς, για ${\eta }_i^j={\widehat{\eta }}_i^j+{\tilde{\eta }}_i^j$, η (5.27) δίνει για $i=1,\mathrm{\dots },N,$ και $j=1,\mathrm{\dots },M,$

$${\delta }_k^{-}u(x_i,t^j)-{\delta }_{h,2}^{c}u(x_i,t^j)={\eta }_i^j,$$

(5.28)

και λόγω των (5.26) και (5.7) εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει το ακόλουθο λήμμα.

Για να κατασκευάσουμε, λοιπόν, προσεγγίσεις $U_i^j$ των $u(x_i,t^j)$, $i=1,\mathrm{\dots },N$, $j=1,\mathrm{\dots },M$, θεωρούμε την ακόλουθη μέθοδο

		${\displaystyle \frac{U_i^j-U_i^{j-1}}{k}}={\displaystyle \frac{U_{i+1}^j-2U_i^j+U_{i-1}^j}{h^2}},i=1,\mathrm{\dots },N,j=1,\mathrm{\dots },M,$		(5.30)
				(5.31)

Είναι φανερό ότι, λόγω της (5.28), το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης της μεθόδου (5.30)–(5.31), δίνεται από την ${\eta }_i^j$. Συνεπώς, σύμφωνα με το Λήμμα 5.2, το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης τείνει στο μηδέν, καθώς τα $h$ και $k$ τείνουν στο μηδέν, οπότε η (5.30) είναι μια συνεπής μέθοδος.

Συμβολίζουμε και πάλι με $\lambda$ τον λόγο ${\displaystyle \frac{k}{h^2}}$, οπότε η (5.30) γράφεται ως

$$-\lambda U_{i+1}^j+(1+2\lambda )U_i^j-\lambda U_{i-1}^j=U_i^{j-1},$$

(5.32)

με $i=1,\mathrm{\dots },N$ και $j=1,\mathrm{\dots },M$. Ξεκινώντας από το χρονικό επίπεδο $t^0=0$ και χρησιμοποιώντας τις αρχικές συνθήκες (5.31), παρατηρούμε ότι, σε αντίθεση με την άμεση μέθοδο του Euler (5.12), δεν μπορούμε άμεσα να υπολογίσουμε την προσέγγιση στο χρονικό επίπεδο $t^1$ από την (5.32). Στο Σχήμα 5.4 φαίνεται ένα παράδειγμα πλέγματος όπου με άσπρο κύκλο σημειώνουμε το σημείο του χρονικού επιπέδου $t^{j+1}$, όπου σύμφωνα με (5.32), αντιστοιχεί σε άγνωστες τιμές της προσέγγισης και με μαύρο αυτά του χρονικού επιπέδου $t^j$ που αντιστοιχούν στη γνωστή τιμή της προσέγγισης.

Αν θέσουμε $U^j\in {ℝ}^N$ το διάνυσμα με συνιστώσες $U_1^j,\mathrm{\dots },U_N^j$, $U=(U_1^j$, $\mathrm{\dots }$, $U_N^j){}^T$, μπορούμε να γράψουμε το σύστημα των εξισώσεων (5.32) ισοδύναμα ως το γραμμικό σύστημα

$$B{U}^j=U^{j-1},j=1,\mathrm{\dots },M,\text{ με }{U}^0=G,$$

(5.33)

όπου $B$ είναι ο $N\times N$ πίνακας

και $G={(g(x_1),\mathrm{\dots },g(x_N))}^T$.

Αφού γνωρίζουμε τη $U^0$ για να υπολογίσουμε τώρα την προσέγγιση στο χρονικό επίπεδο $t^1$ χρειάζεται να λύσουμε το γραμμικό σύστημα $B{U}^1=U^0$. Είναι φανερό ότι ο $B$ έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο και, άρα, είναι αντιστρέψιμος. Επομένως, το γραμμικό σύστημα $B{U}^1=U^0$ έχει μοναδική λύση. Επειδή ο πίνακας $B$ είναι τριδιαγώνιος για τον υπολογισμό της $U^1$, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της Παραγράφου 3.2. Συνεχίζουμε με αυτό τον τρόπο, οπότε σε κάθε χρονικό βήμα γνωρίζουμε την προσέγγιση στο χρονικό επίπεδο $t^{j-1}$ και για να υπολογίσουμε την προσέγγιση στο χρονικό επίπεδο $t^j$ λύνουμε το γραμμικό σύστημα (5.33). Επειδή, κάθε φορά χρειάζεται να λύσουμε ένα γραμμικό σύστημα, η μέθοδος καλείται πεπλεγμένη ή έμμεση. Συγκεκριμένα, τη μέθοδο (5.30) ή (5.32) την ονομάζουμε πεπλεγμένη μέθοδο του Euler.

Ο πίνακας $B$ στο γραμμικό σύστημα (5.33) είναι τριδιαγώνιος και έχει αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο, οπότε είναι αντιστρέψιμος και άρα η ύπαρξη και η μοναδικότητα της προσεγγιστικής λύσης σε κάθε χρονικό βήμα είναι δεδομένη.

Για την ευστάθεια της μεθόδου μπορούμε να δείξουμε το ακόλουθο θεώρημα.

Στη συνέχεια, θα μελετήσουμε την ευστάθεια von Neumann για την πεπλεγμένη μέθοδο του Euler. Όπως και στην άμεση μέθοδο του Euler, υποθέτουμε ότι οι

$$U_i^j=w_j{e}^{r{x}_{i}I},r\in ℝ,$$

ικανοποιούν την (5.32). Οπότε

(5.34)

Χρησιμοποιούμε τώρα και πάλι τις ιδιότητες (5.23) και (5.20) και έχουμε

(5.35)

Συνεπώς, $w_j={\kappa }^j{w}_0$, με $\kappa =1/(1+4\lambda {\sin }^2(\frac{rh}{2})).$ Άρα, επειδή για κάθε $\lambda$ και $r$, ισχύει $|\kappa |\le 1$, η απόλυτη τιμή της $U_i^j$ είναι φραγμένη, για κάθε σημείο του διαμερισμού, και άρα δεν είναι αναγκαία καμία συνθήκη για την ευστάθεια της πεπλεγμένης Euler.

Στη συνέχεια δείχνουμε το ακόλουθο θεώρημα για τη σύγκλιση της μεθόδου.