5 Εξίσωση θερμότητας: Πεπερασμένες διαφορές 5.5 Ταινίες γραφικών παραστάσεων Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 5

5.6 Ασκήσεις

5.1.
Θεωρούμε τη μέθοδο $U_{i}^{j+1}=\lambda U_{i+1}^{j}+(1-2\lambda-\beta k)U_{i}^{j}+\lambda U_{i-1}^% {j}$ για την επίλυση της εξίσωσης της θερμότητας (5.1).
1. (a)
  
  Είναι η μέθοδος άμεση ή πεπλεγμένη $;$
2. (b)
  
  Είναι η μέθοδος ευσταθής $;$
3. (c)
  
  Για ποιες τιμές του $\beta$ , αν υπάρχουν, είναι η μέθοδος συνεπής $;$
5.2.
Θεωρούμε την εξίσωση της θερμότητας (5.1) όπου έχουμε τροποποιήσει τις συνοριακές συνθήκες ως εξής, $u_{x}(0,t)=\alpha$ , και $u(1,t)=0$ .
1. (a)
  
  Γράψτε ένα πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα όπου το αντίστοιχο με την (5.28) σφάλμα διακριτοποίησης $\eta_{i}^{j}$ ικανοποιεί μια σχέση όπως αυτή της (5.29), δηλαδή
  
  $|\eta_{i}^{j}|\leq C(k+h^{2}),$
  
  με $C$ ανεξάρτητη των $k$ και $h$ . Στη συνέχεια, εκφράστε τη μέθοδο σε μορφή γραμμικού συστήματος, όπως η (5.33).
2. (b)
  
  Γράψτε ένα πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα όπου το σφάλμα διακριτοποίησης $\eta_{i}^{j}$ ικανοποιεί μια αντίστοιχη σχέση όπως αυτή της (5.44), δηλαδή
  
  $|\eta_{i}^{j}|\leq C(k^{2}+h^{2}),$
  
  με $C$ ανεξάρτητη των $k$ και $h$ . Επίσης, εκφράστε τη μέθοδο σε μορφή γραμμικού συστήματος.
5.3.
Έστω $N, M$ φυσικοί αριθμοί, $h=L/(N+1)$ , $x_{i}=ih$ , $i=0,\dots,N$ , μια διαμέριση του $[0,L]$ , καθώς και $k=T/M$ , $t^{j}=jk$ , $j=0,\dots,M$ , μια διαμέριση του $[0,T]$ , με $L,T>0$ . Θεωρούμε ένα αριθμητικό σχήμα που χρησιμοποιεί τις τιμές στα $(x_{i-1},t^{j+1})$ , $(x_{i},t^{j+1})$ , $(x_{i+1},t^{j+1})$ , $(x_{i-1},t^{j})$ και $(x_{i+1},t^{j})$ για την προσέγγιση της λύσης της εξίσωσης της θερμότητας (5.1) στο σημείο $(x_{i},t^{j})$ .
1. (a)
  
  Δείξτε την ύπαρξη ένος τέτοιου αριθμητικού σχήματος, καθώς και την αντίστοιχη εκτίμηση του σφάλματος διακριτοποίησης $\eta_{i}^{j}$ .
2. (b)
  
  Είναι η μέθοδος συνεπής $;$
3. (c)
  
  Είναι ευσταθής $;$
5.4.
Έστω $N, M$ φυσικοί αριθμοί, $h=L/(N+1)$ , $x_{i}=ih$ , $i=0,\dots,N$ , μια διαμέριση του $[0,L]$ , καθώς και $k=T/M$ , $t^{j}=jk$ , $j=0,\dots,M$ , μια διαμέριση του $[0,T]$ , με $L,T>0$ . Θεωρούμε ένα αριθμητικό σχήμα που χρησιμοποιεί τις τιμές στα $(x_{i-1},t^{j+1})$ , $(x_{i+1},t^{j+1})$ , $(x_{i-1},t^{j})$ , $(x_{i-1},t^{j-1})$ και $(x_{i+1},t^{j-1})$ για την προσέγγιση της λύσης της εξίσωσης της θερμότητας (5.1) στο σημείο $(x_{i},t^{j})$ .
1. (a)
  
  Δείξτε την ύπαρξη ένος τέτοιου αριθμητικού σχήματος καθώς και την αντίστοιχη εκτίμηση του σφάλματος διακριτοποίησης $\eta_{i}^{j}$ .
2. (b)
  
  Είναι η μέθοδος συνεπής $;$
3. (c)
  
  Είναι ευσταθής $;$

5.5.

Θεωρούμε το πρόβλημα

	$\displaystyle u_{t}(x,t)$	$\displaystyle=Du_{xx}(x,t)-\beta u(x,t),\quad(x,t)\in[0,L]\times[0,T],$
	$\displaystyle u(x,0)$	$\displaystyle=g(x),\quad x\in[0,L],$
	$\displaystyle u(0,t)$	$\displaystyle=u(L,t)=0,\quad t\in[0,T],$

όπου $D,\beta$ είναι θετικές σταθερές.

(a)

Γράψτε ένα πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα με σφάλμα διακριτοποίησης $\eta_{i}^{j}$ το οποίο να ικανοποιεί μια σχέση της μορφής

$|\eta_{i}^{j}|\leq C(k+h^{2}),$

με $C$ ανεξάρτητη των $k$ και $h$ . Στη συνέχεια, εκφράστε τη μέθοδο σε μορφή γραμμικού συστήματος.
(b)

Είναι αυτή η μέθοδος ευσταθής $;$ Είναι ευσταθής υπό συνθήκες $;$

5.6.

Θεωρούμε το πρόβλημα

	$\displaystyle u_{t}(x,t)$	$\displaystyle=Du_{xx}(x,t)-\alpha u_{x}(x,t),\quad(x,t)\in[0,L]\times[0,T],$
	$\displaystyle u(x,0)$	$\displaystyle=g(x),\quad x\in[0,L],$
	$\displaystyle u(0,t)$	$\displaystyle=u(L,t)=0,\quad t\in[0,T]$

όπου $D,\alpha$ είναι σταθερές και $D>0$ .

(a)

Γράψτε ένα πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα με σφάλμα διακριτοποίησης $\eta_{i}^{j}$ το οποίο να ικανοποιεί μια σχέση της μορφής

$|\eta_{i}^{j}|\leq C(k+h^{2}),$

με $C$ ανεξάρτητη των $k$ και $h$ . Στη συνέχεια, εκφράστε τη μέθοδο σε μορφή γραμμικού συστήματος.
(b)

Είναι αυτή η μέθοδος ευσταθής $;$ Είναι ευσταθής υπό συνθήκες $;$

5.7.

Θεωρούμε το πρόβλημα

	$\displaystyle u_{t}(x,t)$	$\displaystyle=Du_{xx}(x,t)+\mu(x)u_{x}(x,t),\quad(x,t)\in[0,L]\times[0,T],$
	$\displaystyle u(x,0)$	$\displaystyle=g(x),\quad x\in[0,L],$
	$\displaystyle u(0,t)$	$\displaystyle=u(L,t)=0,\quad t\in[0,T],$

όπου $D,\mu$ είναι θετικές σταθερές.

(a)

Γράψτε ένα πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα με σφάλμα διακριτοποίησης $\eta_{i}^{j}$ το οποίο να ικανοποιεί μια σχέση της μορφής

$|\eta_{i}^{j}|\leq C(k+h^{2}),$

με $C$ ανεξάρτητη των $k$ και $h$ . Στη συνέχεια, εκφράστε τη μέθοδο σε μορφή γραμμικού συστήματος.
(b)

Είναι αυτή η μέθοδος ευσταθής $;$ Είναι ευσταθής υπό συνθήκες $;$

5.8.

Θεωρούμε το πρόβλημα

	$\displaystyle u_{t}(x,t)$	$\displaystyle=Du_{xx}(x,t)-\beta u(x,t),\quad(x,t)\in[0,1]\times[0,T],$
	$\displaystyle u(x,0)$	$\displaystyle=g(x),\quad x\in[0,1],$
	$\displaystyle u(0,t)$	$\displaystyle=h(t),\ u(1,t)=0,\quad t\in[0,T],$

όπου $D,\beta$ είναι θετικές σταθερές.

(a)

Γράψτε ένα πεπλεγμένο αριθμητικό σχήμα με σφάλμα διακριτοποίησης $\eta_{i}^{j}$ το οποίο να ικανοποιεί μια σχέση της μορφής

$|\eta_{i}^{j}|\leq C(k^{2}+h^{2}),$

με $C$ ανεξάρτητη των $k$ και $h$ . Στη συνέχεια, εκφράστε τη μέθοδο σε μορφή γραμμικού συστήματος.
(b)

Είναι αυτή η μέθοδος ευσταθής $;$ Είναι ευσταθής υπό συνθήκες $;$