6 Εξίσωση θερμότητας: Πεπερασμένα στοιχεία 6.1 Ημιδιακριτό πρόβλημα 6.3 Μέθοδος των Crank–Nicolson

6.2 Πεπλεγμένη μέθοδος του Euler

Θα θεωρήσουμε τώρα ένα πλήρως διακριτό σχήμα, διακριτοποιώντας και ως προς τον χρόνο το ημιδιακριτό σχήμα (6.4) με την πεπλεγμένη μέθοδο του Εuler. Για έναν φυσικό αριθμό $M\geq 1$ θέτουμε $k=T/M$ και $t^{j}=jk$ , $j=0,\dots,M$ , μια διαμέριση του $[0,T]$ .

Θεωρούμε λοιπόν τις προσεγγίσεις $U^{n}\in V_{h}$ , $n=1,\dots,M$ , τέτοιες ώστε

\begin{split}\displaystyle(\dfrac{U^{n}-U^{n-1}}{k},\chi)+((U^{n})^{\prime},% \chi^{\prime})=0,\quad\forall\chi\in V_{h},\quad U^{0}&\displaystyle=g_{h},% \end{split}

(6.19)

όπου $g_{h}\in V_{h}$ μια προσέγγιση της $g$ . Η (6.19) γράφεται ισοδύναμα ως

\begin{split}\displaystyle(U^{n},\chi)+k((U^{n})^{\prime},\chi^{\prime})=(U^{n% -1},\chi),\quad\forall\chi\in V_{h},\quad U^{0}&\displaystyle=g_{h}.\end{split}

(6.20)

Αν θεωρήσουμε ως βάση του $V_{h}$ τις συναρτήσεις $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{N}$ , τότε οι προσεγγίσεις $U^{n}$ του (6.20) γράφονται ως γραμμικός συνδυασμός των $\phi_{j}$ ως

U^{n}(x)=\sum_{j=0}^{N}\alpha_{j}^{n}\phi_{j}(x),\quad x\in[0,L].

Επιλέγοντας τώρα $\chi=\phi_{i}$ , $i=1,\dots,N$ , στην (6.20) παρατηρούμε ότι οδηγούμαστε σε ένα γραμμικό σύστημα της μορφής

(\mathcal{M}+k\mathcal{S})\alpha^{n}=\mathcal{M}\alpha^{n-1},

όπου $\mathcal{M}$ και $\mathcal{S}$ είναι οι πίνακες της (6.6) και $\alpha^{j}$ διανύσματα με συνιστώσες $\alpha^{j}=(\alpha_{1}^{j},\dots,\alpha_{N}^{j})^{T}$ , $j=0,\dots,N$ . Είναι απλό να δούμε ότι ο πίνακας $\mathcal{M}+k\mathcal{S}$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος και, άρα, αντιστρέφεται. Επομένως,

\alpha^{n}=(\mathcal{M}+k\mathcal{S})^{-1}\mathcal{M}\alpha^{n-1}.

(6.21)

Άρα, ξεκινώντας από τη γνωστή προσέγγιση $U^{0}=g_{h}$ της $g$ , όπου γνωρίζουμε το διάνυσμα $\alpha^{0}$ , μπορούμε χρησιμοποιώντας την (6.21) να προσδιορίσουμε αναδρομικά τα $\alpha^{n}$ και κατ’επέκταση την προσέγγιση $U^{n}$ της $u(\cdot,t^{n})$ .

Στη συνέχεια, θα δείξουμε την ευστάθεια της μεθόδου (6.19).

Θεώρημα 6.3.

Έστω ότι οι $U^{n}\in V_{h}$ , $n=0,\dots,M$ , ικανοποιούν την (6.19). Τότε

\max_{0\leq n\leq M}\|U^{n}\|\leq\|U^{0}\|.

(6.22)

Απόδειξη.

Επιλέγουμε $\chi=U^{n}$ στην (6.19), οπότε λαμβάνουμε

(\dfrac{U^{n}-U^{n-1}}{k},U^{n})+\|(U^{n})^{\prime}\|^{2}=0.

(6.23)

Επομένως, έχουμε

\|U^{n}\|^{2}\leq(U^{n-1},U^{n})\leq\|U^{n-1}\|\,\|U^{n}\|.

Άρα

\|U^{n}\|\leq\|U^{n-1}\|,

από όπου προκύπτει η ζητούμενη σχέση (6.22). ∎

Στη συνέχεια, αποδεικνύουμε τη σύγκλιση της πεπλεγμένης μεθόδου του Euler.

Θεώρημα 6.4.

Έστω $u\in C^{2}([0,L]\times[0,T])$ η λύση της (6.1) με $g\in C^{2}[0,L]$ και $U^{n}\in V_{h}$ , $n=0,\dots,M$ , ικανοποιούν την (6.19) με $U^{0}=R_{h}g$ . Τότε υπάρχει σταθερά $C$ , ανεξάρτητη των $k$ και $h$ , τέτοια ώστε

\max_{0\leq n\leq M}\|U^{n}-u(\cdot,t^{n})\|\leq C(k+h^{2}).

(6.24)

Απόδειξη.

Θέτουμε $\rho^{n}=W(\cdot,t^{n})-u(\cdot,t^{n})$ και $\vartheta^{n}=U^{n}-W(\cdot,t^{n})$ , οπότε $U^{n}-u(\cdot,t^{n})=\vartheta^{n}+\rho^{n}$ . Λόγω του Λήμματος 6.2, έχουμε ότι

\max_{0\leq n\leq M}\|\rho^{n}\|\leq Ch^{2}.

(6.25)

Στη συνέχεια, μπορούμε να δούμε ότι η $\vartheta^{n}$ ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση

(\dfrac{\vartheta^{n}-\vartheta^{n-1}}{k},\chi)+((\vartheta^{n})^{\prime},\chi% ^{\prime})=-(\omega^{n},\chi),\quad\forall\chi\in V_{h},

(6.26)

όπου $\omega^{n}=\omega^{n}_{1}+\omega^{n}_{2}$ και

\omega^{n}_{1}=\dfrac{\rho^{n}-\rho^{n-1}}{k},\quad\omega^{n}_{2}=\dfrac{u^{n}% -u^{n-1}}{k}-u_{t}^{n},

με $u^{n}=u(\cdot,t^{n})$ και $u_{t}^{n}=u(\cdot,t^{n})$ . Πράγματι έχουμε

		$\displaystyle(\dfrac{\vartheta^{n}-\vartheta^{n-1}}{k},\chi)+((\vartheta^{n})^% {\prime},\chi^{\prime})$
		$\displaystyle\ =-(\dfrac{R_{h}u^{n}-R_{h}u^{n-1}}{k},\chi)-((R_{h}u^{n})^{% \prime},\chi^{\prime})$
		$\displaystyle\ =-(\dfrac{\rho^{n}-\rho^{n-1}}{k},\chi)-(\dfrac{u^{n}-u^{n-1}}{% k},\chi)-((u^{n})_{x},\chi^{\prime})$
		$\displaystyle\ =-(\dfrac{\rho^{n}-\rho^{n-1}}{k},\chi)-(\dfrac{u^{n}-u^{n-1}}{% k},\chi)+(u_{t}^{n},\chi)$
		$\displaystyle\ =-(\omega^{n}_{1}+\omega^{n}_{2},\chi).$

Στη συνέχεια, θα δείξουμε ότι

\|\omega^{n}_{1}\|\leq Ch^{2}\quad\text{και}\quad\|\omega^{n}_{2}\|\leq Ck.

Εύκολα βλέπουμε ότι

\omega^{n}_{1}=\dfrac{1}{k}\int_{t^{n-1}}^{t^{n}}\rho(t)\,dt,

οπότε λόγω της (6.13)

\|\omega^{n}_{1}\|\leq\dfrac{1}{k}\int_{t^{n-1}}^{t^{n}}\|\rho(t)\|\,dt\leq Ch% ^{2}.

(6.27)

Επίσης, λόγω του αναπτύγματος Taylor έχουμε

\|\omega^{n}_{2}\|=\|\dfrac{u^{n}-u^{n-1}}{k}-u_{t}^{n}\|=k^{-1}\|\int_{t^{n-1% }}^{t^{n}}(t-t^{n-1})u_{tt}(\cdot,t)\,dt\|.

Συνεπώς

\|\omega^{n}_{2}\|\leq Ck.

(6.28)

Άρα, συνδυάζοντας τις (6.27), (6.28), παίρνουμε

\|\omega_{n}\|\leq C(k+h^{2}),\quad n=1,\dots,M.

(6.29)

Επιλέγοντας τώρα $\chi=\vartheta^{n}$ στην (6.26), λαμβάνουμε

\displaystyle\|\vartheta^{n}\|^{2}+k\|(\vartheta^{n})^{\prime}\|^{2}

\displaystyle=(\vartheta^{n-1},\vartheta^{n})-k(\omega^{n},\vartheta^{n})\leq(% \|\vartheta^{n-1}\|+k\|\omega^{n}\|)\|\vartheta^{n}\|.

Οπότε

\|\vartheta^{n}\|\leq\|\vartheta^{n-1}\|+k\|\omega^{n}\|,

από την οποία παίρνουμε την

\|\vartheta^{n}\|\leq\|\vartheta^{0}\|+k\sum_{j=1}^{n}\|\omega^{j}\|\leq\|% \vartheta^{0}\|+Mk\max_{0\leq j\leq M}\|\omega^{j}\|.

Συνεπώς, λόγω των (6.25), (6.29) και του γεγονότος ότι $\vartheta(0)=0$ , έχουμε ότι ισχύει η ζητούμενη σχέση. ∎