6 Εξίσωση θερμότητας: Πεπερασμένα στοιχεία 6.2 Πεπλεγμένη μέθοδος του Euler 6.4 Άμεση μέθοδος του Euler

6.3 Μέθοδος των Crank–Nicolson

Στη συνέχεια, θα θεωρήσουμε ένα πλήρως διακριτό σχήμα, διακριτοποιώντας και ως προς τον χρόνο το ημιδιακριτό σχήμα (6.4) με την μέθοδο των Crank–Nicolson. Θέτουμε και πάλι $k=T/M$ και $t^{j}=jk$ , $j=0,\dots,M$ , μια διαμέριση του $[0,T]$ .

Θεωρούμε λοιπόν τις προσεγγίσεις $U^{n}\in V_{h}$ , $n=1,\dots,M$ , τέτοιες ώστε

\begin{split}\displaystyle(\dfrac{U^{n}-U^{n-1}}{k},\chi)+((U^{n-1/2})^{\prime% },\chi^{\prime})=0,\quad\forall\chi\in V_{h},\quad U^{0}&\displaystyle=g_{h},% \end{split}

(6.30)

όπου $g_{h}\in V_{h}$ μια προσέγγιση της $g$ και $U^{n-1/2}=\dfrac{1}{2}(U^{n}+U^{n-1})$ . Η (6.30) γράφεται και ως εξής

\begin{split}\displaystyle(U^{n},\chi)+\dfrac{k}{2}((U^{n})^{\prime},\chi^{% \prime})&\displaystyle=(U^{n-1},\chi)-\dfrac{k}{2}((U^{n-1})^{\prime},\chi^{% \prime}),\quad\forall\chi\in V_{h},\\ \displaystyle U^{0}&\displaystyle=g_{h}.\end{split}

(6.31)

Με ανάλογο τρόπο όπως και για την πεπλεγμένη μέθοδο του Euler στην προηγούμενη παράγραφο, η (6.31) είναι ισοδύναμη με ένα γραμμικό σύστημα της μορφής

(\mathcal{M}+\dfrac{k}{2}\mathcal{S})\alpha^{n}=(\mathcal{M}-\dfrac{k}{2}% \mathcal{S})\alpha^{n-1},

όπου $\mathcal{M}$ και $\mathcal{S}$ είναι οι πίνακες της (6.6) και $\alpha^{j}$ διανύσματα με συνιστώσες $\alpha^{j}=(\alpha_{1}^{j},\dots,\alpha_{N}^{j})^{T}$ , $j=0,\dots,N$ . Εύκολα βλέπουμε ότι ο πίνακας $\mathcal{M}+\dfrac{k}{2}\mathcal{S}$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος και, άρα, αντιστρέφεται. Επομένως,

\alpha^{n}=(\mathcal{M}+\dfrac{k}{2}\mathcal{S})^{-1}(\mathcal{M}-\dfrac{k}{2}% \mathcal{S})\alpha^{n-1}.

(6.32)

Συνεπώς, επειδή γνωρίζουμε το διάνυσμα $\alpha^{0}$ , χρησιμοποιώντας την (6.32) μπορούμε να προσδιορίσουμε αναδρομικά τα $\alpha^{n}$ και κατ’επέκταση την προσέγγιση $U^{n}$ της $u(\cdot,t^{n})$ .

Στη συνέχεια, θα δείξουμε την ευστάθεια της μεθόδου (6.30).

Θεώρημα 6.5.

Έστω ότι οι $U^{n}\in V_{h}$ , $n=0,\dots,M$ , ικανοποιούν την (6.30). Τότε

\max_{0\leq n\leq M}\|U^{n}\|\leq\|U^{0}\|.

(6.33)

Απόδειξη.

Επιλέγουμε $\chi=U^{n-1/2}$ στην (6.30). Οπότε

(\dfrac{U^{n}-U^{n-1}}{k},U^{n-1/2})+\|(U^{n-1/2})^{\prime}\|^{2}=0.

(6.34)

Επομένως, έχουμε ότι

(U^{n}-U^{n-1},U^{n}+U^{n-1})\leq 0,

από όπου εύκολα βλέπουμε ότι

\|U^{n}\|^{2}\leq\|U^{n-1}\|^{2}\leq\dots\leq\|U^{0}\|^{2},

δηλαδή τη ζητούμενη ανισότητα. ∎

Θεώρημα 6.6.

Έστω $u\in C^{4}([0,L]\times[0,T])$ η λύση της (6.1) με $g\in C^{2}[0,L]$ και $U^{n}\in V_{h}$ , $n=0,\dots,M$ , ικανοποιούν την (6.30) με $U^{0}=R_{h}g$ . Τότε, υπάρχει σταθερά $C$ , ανεξάρτητη των $k$ και $h$ , τέτοια ώστε

\max_{0\leq n\leq M}\|U^{n}-u(\cdot,t^{n})\|\leq C(k^{2}+h^{2}).

(6.35)

Απόδειξη.

Θέτουμε και πάλι $\rho^{n}=W(\cdot,t^{n})-u(\cdot,t^{n})$ και $\vartheta^{n}=U^{n}-W(\cdot,t^{n})$ , οπότε $U^{n}-u(\cdot,t^{n})=\vartheta^{n}+\rho^{n}$ . Λόγω της (6.25) αρκεί να εκτιμήσουμε την $\|\vartheta^{n}\|$ . Μπορούμε να δούμε ότι το $\vartheta^{n}$ ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση

(\dfrac{\vartheta^{n}-\vartheta^{n-1}}{k},\chi)+((\vartheta^{n-1/2})^{\prime},% \chi^{\prime})=-(\omega^{n},\chi),\quad\forall\chi\in V_{h},

(6.36)

όπου $\omega^{n}=\omega^{n}_{1}+\omega^{n}_{2}+\omega^{n}_{3}$ και

	$\displaystyle\omega^{n}_{1}$	$\displaystyle=\dfrac{\rho^{n}-\rho^{n-1}}{k},\quad\omega^{n}_{2}=\dfrac{u^{n}-% u^{n-1}}{k}-u_{t}(\cdot,t^{n-1/2}),$
	$\displaystyle\omega^{n}_{3}$	$\displaystyle=u_{xx}(\cdot,t^{n-1/2})-u_{xx}^{n-1/2}.$

Πράγματι έχουμε

		$\displaystyle(\dfrac{\vartheta^{n}-\vartheta^{n-1}}{k},\chi)+((\vartheta^{n-1/% 2})^{\prime},\chi^{\prime})$
		$\displaystyle\ =-(\dfrac{R_{h}u^{n}-R_{h}u^{n-1}}{k},\chi)-((R_{h}u^{n-1/2})^{% \prime},\chi^{\prime})$
		$\displaystyle\ =-(\dfrac{\rho^{n}-\rho^{n-1}}{k},\chi)-(\dfrac{u^{n}-u^{n-1}}{% k},\chi)-(u^{n-1/2}_{x},\chi^{\prime})$
		$\displaystyle\ =-(\dfrac{\rho^{n}-\rho^{n-1}}{k},\chi)-(\dfrac{u^{n}-u^{n-1}}{% k},\chi)+(u_{xx}^{n-1/2},\chi)$
		$\displaystyle\ =-(\dfrac{\rho^{n}-\rho^{n-1}}{k},\chi)-(\dfrac{u^{n}-u^{n-1}}{% k},\chi)+(u_{t}(\cdot,t^{n-1/2}),\chi)$
		$\displaystyle\quad-(u_{t}(\cdot,t^{n-1/2}),\chi)+(u_{xx}^{n-1/2},\chi)$
		$\displaystyle\ =-(\dfrac{\rho^{n}-\rho^{n-1}}{k},\chi)-(\dfrac{u^{n}-u^{n-1}}{% k},\chi)+(u_{t}(\cdot,t^{n-1/2}),\chi)$
		$\displaystyle\quad-(u_{xx}(\cdot,t^{n-1/2}),\chi)+(u_{xx}^{n-1/2},\chi)$
		$\displaystyle\ =-(\omega^{n}_{1}+\omega^{n}_{2}+\omega^{n}_{3},\chi).$

Από την (6.27) έχουμε ότι $\|\omega_{1}^{n}\|\leq Ch^{2}$ . Επίσης, λόγω του αναπτύγματος Taylor έχουμε

	$\displaystyle\omega^{n}_{2}$	$\displaystyle=\dfrac{u^{n}-u^{n-1}}{k}-u_{t}(\cdot,t^{n-1/2})$
		$\displaystyle=(2k)^{-1}\int_{t^{n-1}}^{t^{n-1/2}}(t-t^{n-1})^{2}u_{ttt}(t)\,dt% +(2k)^{-1}\int^{t^{n}}_{t^{n-1/2}}(t-t^{n})^{2}u_{ttt}(t)\,dt,$

από όπου προκύπτει ότι $\|\omega^{n}_{2}\|\leq Ck^{2}$ . Τέλος, χρησιμοποιώντας και πάλι το ανάπτυγμα Taylor, έχουμε

	$\displaystyle 2\omega^{n}_{3}$	$\displaystyle=2(u_{xx}(\cdot,t^{n-1/2})-(u_{xx})^{n-1/2})$
		$\displaystyle=-\int_{t^{n-1}}^{t^{n-1/2}}(t-t^{n-1})u_{xxtt}(t)\,dt+\int^{t^{n% }}_{t^{n-1/2}}(t-t^{n})u_{xxtt}(t)\,dt.$

Συνεπώς $\|\omega^{n}_{3}\|\leq Ck^{2}$ . Συνδυάζοντας τις παραπάνω εκτιμήσεις, λαμβάνουμε

\|\omega^{n}\|\leq C(k^{2}+h^{2}).

(6.37)

Επιλέγοντας τώρα $\chi=\vartheta^{n-1/2}$ στην (6.36), παίρνουμε

	$\displaystyle\\|\vartheta^{n}\\|^{2}-\\|\vartheta^{n-1}\\|^{2}+2k\\|(\vartheta^{n-1% /2})^{\prime}\\|^{2}$	$\displaystyle=-k(\omega^{n},\vartheta^{n}+\vartheta^{n-1})$
		$\displaystyle\leq k\\|\omega^{n}\\|(\\|\vartheta^{n}\\|+\\|\vartheta^{n-1}\\|).$

Οπότε

(\|\vartheta^{n}\|-\|\vartheta^{n-1}\|)(\|\vartheta^{n}\|+\|\vartheta^{n-1}\|)% \leq k\|\omega^{n}\|(\|\vartheta^{n}\|+\|\vartheta^{n-1}\|),

από την οποία παίρνουμε

(\|\vartheta^{n}\|\leq\|\vartheta^{n-1}\|+k\|\omega^{n}\|.

Συνεπώς, έχουμε

\|\vartheta^{n}\|\leq\|\vartheta^{0}\|+k\sum_{j=1}^{n}\|\omega^{j}\|\leq\|% \vartheta^{0}\|+Mk\max_{0\leq j\leq M}\|\omega^{j}\|.

Επομένως, λόγω των (6.25), (6.37) και του γεγονότος ότι $\vartheta(0)=0$ , έχουμε ότι ισχύει η επιθυμητή σχέση (6.35). ∎