7 Εξίσωση μεταφοράς 7 Εξίσωση μεταφοράς 7.2 Μέθοδος των Lax–Wendroff

7.1 Μέθοδοι upwind και downwind

Θεωρούμε το ακόλουθο πρόβλημα: Ζητείται μια συνάρτηση $u$ $\in C^{1}([a,b]\times[0,T])$ , τέτοια ώστε

\begin{split}\displaystyle u_{t}(x,t)+\alpha u_{x}(x,t)&\displaystyle=0,\quad x% \in[a,b],\ t\in[0,T],\\ \displaystyle u(x,0)&\displaystyle=g(x),\quad x\in[a,b],\\ \displaystyle u(a,t)&\displaystyle=\phi_{0}(t),\quad t\in[0,T],\end{split}

(7.1)

όπου $\alpha,L,T>0$ και $g$ μια δοσμένη συνάρτηση. Σύμφωνα με την Παράγραφο 1.2.3 η ακριβής λύση του (7.1), προσδιορίζεται από τις αντίστοιχες αρχικές και συνοριακές συνθήκες. Επομένως, φαίνεται ότι μια αριθμητική μέθοδος δεν είναι απαραίτητη για την προσέγγιση της ακριβούς λύσης. Όμως, η μελέτη αριθμητικών μεθόδων για αυτά τα απλά προβλήματα φανερώνει ιδιότητες και συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται για τη σύγκλιση των προσεγγίσεων στην ακριβή λύση και οδηγεί στην καλύτερη κατανόηση των μεθόδων αυτών αλλά και σε αντίστοιχες ιδιότητες για μη γραμμικά προβλήματα πρώτης τάξεως, όπως π.χ. το (1.8).

7.1.1 Μέθοδος upwind

Θεωρούμε έναν διαμερισμό του $[a,b]\times[0,T]$ ανάλογα όπως στο Κεφάλαιο 5. Συμβολίζουμε, λοιπόν, $x_{i}$ , $i=0,\dots,N+1$ , τα $N+2$ ισαπέχοντα σημεία, όπου $x_{i}=a+ih$ , με $h=(b-a)/(N+1)$ και $t^{j}$ , $j=0,\dots,M$ , τα $M+1$ ισαπέχοντα σημεία, όπου $t^{j}=jk$ , με $k=T/M$ . Σε κάθε σημείο $(x_{i},t^{j})$ του διαμερισμού του $[a,b]\times[0,T]$ θα ισχύει

u_{t}(x_{i},t^{j})+\alpha u_{x}(x_{i},t^{j})=0,\quad i=0,\dots,N+1,\ j=0,\dots% ,M,

(7.2)

και, στη συνέχεια, θα κατασκευάσουμε και πάλι προσεγγίσεις $U_{i}^{j}$ της $u(x_{i},t^{j})$ προσεγγίζοντας τις παραγώγους της $u$ στην (7.2) χρησιμοποιώντας πεπερασμένες διαφορές που θεωρήσαμε στο Κεφάλαιο 2.

Λόγω των αρχικών και συνοριακών συνθηκών στην (7.1) θέτουμε $U_{i}^{0}=g(x_{i})$ , $i=0,\dots,N+1$ , και $U_{0}^{j}=\phi_{0}(t^{j})$ , $j=0,\dots,M$ . Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις $\delta^{+}_{k}u(x_{i},t^{j})$ και $\delta^{-}_{h}u(x_{i},t^{j})$ που θεωρήσαμε στην (2.1) για να προσεγγίσουμε τις $u_{t}(x_{i},t^{j})$ και $u_{x}(x_{i},t^{j})$ , αντίστοιχα, έχουμε για $i=1,\dots,N+1,$ και $j=0,\dots,M-1,$

\dfrac{u(x_{i},t^{j+1})-u(x_{i},t^{j})}{k}+\alpha\dfrac{u(x_{i},t^{j})-u(x_{i-% 1},t^{j})}{h}=\eta_{i}^{j},

(7.3)

όπου, αν $u_{tt},u_{xx}\in C([a,b]\times[0,T])$ , λόγω της (2.3),

|\eta_{i}^{j}|\leq\dfrac{k}{2}\max_{t\in[0,T]}|u_{tt}(x,t)|+\dfrac{h}{2}\max_{% x\in[a,b]}|u_{xx}(x,t)|.

(7.4)

Συνεπώς, ισχύει το ακόλουθο λήμμα.

Λήμμα 7.1.

Έστω $u$ η λύση του (7.1) με $u_{tt},u_{xx}\in C([a,b]\times[0,T])$ . Τότε, για την $\eta_{i}^{j}$ που δίνεται στην (7.3) έχουμε ότι υπάρχει σταθερά $C$ ανεξάρτητη των $k$ και $h$ , τέτοια ώστε

\max_{0\leq j\leq M-1}\max_{1\leq i\leq N+1}|\eta_{i}^{j}|\leq C(k+h).

(7.5)

Κατασκευάζουμε λοιπόν προσεγγίσεις $U_{i}^{j}$ των τιμών $u(x_{i},t^{j})$ , σύμφωνα με την ακόλουθη μέθοδο, την οποία καλούμε upwind,

\begin{split}\displaystyle\dfrac{U_{i}^{j+1}-U_{i}^{j}}{k}+\alpha\dfrac{U_{i}^% {j}-U_{i-1}^{j}}{h}&\displaystyle=0,\quad i=1,\dots,N+1,\ j=0,\dots,M-1,\\ \displaystyle U_{i}^{0}&\displaystyle=g(x_{i}),\quad i=0,\dots,N+1,\\ \displaystyle U_{0}^{j}&\displaystyle=\phi_{0}(t^{j}),\quad j=0,\dots,M.\end{split}

(7.6)

Αν συμβολίσουμε τώρα με $\lambda$ τον λόγο $\dfrac{\alpha k}{h}$ , η (7.6) μπορεί να γραφεί

$\displaystyle U_{i}^{j+1}$	$\displaystyle=(1-\lambda)U_{i}^{j}+\lambda U_{i-1}^{j},$	$\displaystyle\ i=1,\dots,N+1,\ j=0,\dots,M-1,$	(7.7)
$\displaystyle U_{i}^{0}$	$\displaystyle=g(x_{i}),$	$\displaystyle\ i=0,\dots,N+1,$
$\displaystyle U_{0}^{j}$	$\displaystyle=\phi_{0}(t^{j}),$	$\displaystyle\ j=0,\dots,M.$

Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι ξεκινώντας από το χρονικό επίπεδο $t=0$ , χρησιμοποιώντας την (7.7), μπορούμε να βρούμε με άμεσο τρόπο την προσέγγιση $U_{i}^{1}$ , $i=0,\dots,N+1$ , στο επόμενο χρονικό επίπεδο $t^{1}=k$ και να συνεχίσουμε με αυτό τον τρόπο, ώστε να βρούμε τις προσεγγίσεις και σε όλα τα επόμενα χρονικά επίπεδα $t^{j}$ , $j=1,\dots,M$ .

Σχήμα 7.1: Σημεία ενός πλέγματος για τον υπολογισμό της λύσης με τη μέθοδο upwind. Με άσπρο σημειώνουμε τα σημεία που αντιστοιχούν σε άγνωστες τιμές της προσέγγισης και με μαύρο αυτά που αντιστοιχούν σε γνωστές τιμές.

Παράδειγμα 7.1.

Θεωρούμε το πρόβλημα (7.1) στο διάστημα $[-1,9]$ , με $g$ όπως στο Παράδειγμα 1.2, $\phi_{0}(t)=g(x-\alpha t)$ και $\alpha=1$ . Επειδή γνωρίζουμε ότι $u(a,t)=0$ , για $t\in[0,7]$ , μπορούμε να θέσουμε $U_{0}^{j}=0$ , $j=0,\dots,M$ . Επίσης, διαμερίζουμε το $[-1,9]$ σε $N+2$ σημεία, με $N=99$ και το $[0,7]$ σε $M+1$ , με $M=63,77,98$ . Στο Σχήμα 7.2 βλέπουμε την ακριβή λύση $u$ και τις προσεγγίσεις με τη μέθοδο upwind για $t=0,1,5,7$ . Παρατηρούμε ότι αν $\lambda=70/63>1$ , για $M=63$ , τότε το σφάλμα της προσεγγιστικής λύσης είναι μεγάλο, ενώ για $\lambda=70/77<1$ , για $M=77$ , προκύπτει το μικρότερο σφάλμα. Επίσης, βλέπουμε ότι για το μικρότερο $\lambda$ , το οποίο προκύπτει για $M=98$ , η προσέγγιση χειροτερεύει.

Σχήμα 7.2: Η ακριβής λύση $u(x,t)$ του Παραδείγματος 7.1 και οι προσεγγίσεις της για $N=99$ και $M=63,77,98$ , με τη μέθοδο upwind για $t=0,1,5$ και $7$ .

7.1.2 Μέθοδος downwind

Αν για την προσέγγιση της $u_{x}(x_{i},t^{j})$ στην (7.2) χρησιμοποιήσουμε την $\allowbreak\delta^{+}_{h}u(x_{i},t^{j})$ αντί για την $\delta^{-}_{h}u(x_{i},t^{j})$ , προκύπτει για $i=0,\dots,N,$ και $j=0,\dots,M-1,$ η εξίσωση

\dfrac{u(x_{i},t^{j+1})-u(x_{i},t^{j})}{k}+\alpha\dfrac{u(x_{i+1},t^{j})-u(x_{% i},t^{j})}{h}=\eta_{i}^{j},

(7.8)

όπου, αν $u_{tt},u_{xx}\in C([a,b]\times[0,T])$ , λόγω της (2.3),

|\eta_{i}^{j}|\leq\dfrac{k}{2}\max_{t\in[0,T]}|u_{tt}(x,t)|+\dfrac{h}{2}\max_{% x\in[a,b]}|u_{xx}(x,t)|.

(7.9)

Όπως και στη μέθοδο upwind, εύκολα βλέπουμε ότι το σφάλμα $\eta_{i}^{j}$ στην (7.8) θα ικανοποιεί το Λήμμα 7.1. Στη συνέχεια, θεωρούμε την ακόλουθη μέθοδο για τον υπολογισμό των $U_{i}^{j}$ , την οποία καλούμε downwind,

\begin{split}\displaystyle\dfrac{U_{i}^{j+1}-U_{i}^{j}}{k}+\alpha\dfrac{U_{i+1% }^{j}-U_{i}^{j}}{h}&\displaystyle=0,\quad i=0,\dots,N,\ j=0,\dots,M-1,\\ \displaystyle U_{i}^{0}&\displaystyle=g(x_{i}),\quad i=0,\dots,N+1,\\ \displaystyle U_{0}^{j}&\displaystyle=\phi_{0}(t^{j}),\quad j=0,\dots,M.\end{split}

(7.10)

Αν συμβολίσουμε και πάλι $\lambda$ τον λόγο $\dfrac{\alpha k}{h}$ , τότε η (7.10) μπορεί να γραφεί

\begin{split}\displaystyle U_{i}^{j+1}&\displaystyle=(1+\lambda)U_{i}^{j}-% \lambda U_{i+1}^{j},\quad i=0,\dots,N,\ j=0,\dots,M-1,\\ \displaystyle U_{i}^{0}&\displaystyle=g(x_{i}),\quad i=0,\dots,N+1,\\ \displaystyle U_{0}^{j}&\displaystyle=\phi_{0}(t^{j}),\quad j=0,\dots,M.\end{split}

(7.11)

Σχήμα 7.3: Σημεία ενός πλέγματος για τον υπολογισμό της λύσης με τη μέθοδο downwind. Με άσπρο σημειώνουμε τα σημεία που αντιστοιχούν σε άγνωστες τιμές της προσέγγισης και με μαύρο αυτά που αντιστοιχούν σε γνωστές τιμές.

Αν και οι δύο παραπάνω μέθοδοι upwind και downwind μοιάζουν, έχουν πολύ διαφορετική συμπεριφορά και δεν δίνουν παρόμοια αποτελέσματα. Πράγματι, ξεκινώντας από το χρονικό επίπεδο $t=0$ όπου γνωρίζουμε ότι $U_{i}^{0}=g(x_{i})$ , $i=0,\dots,N+1$ , και χρησιμοποιώντας την (7.11), μπορούμε να βρούμε με άμεσο τρόπο την προσέγγιση $U_{i}^{1}$ , $i=0,\dots,N$ , στο επόμενο χρονικό επίπεδο $t^{1}=k$ , όμως παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την $U_{N+1}^{1}$ . Επομένως, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο (7.11), όπως την έχουμε θεωρήσει, για να βρούμε όλες τις τιμές $U_{i}^{j}$ στα επόμενα χρονικά επίπεδα $t^{j}$ , $j=1,\dots,M$ . Μια λύση αυτού του προβλήματος είναι να θεωρήσουμε γνωστές τις τιμές $U_{N+1}^{j}$ , $j=1,\dots,M$ . Έτσι, αν γνωρίζουμε ότι $u(b,t)=\phi_{1}(t)$ , $t\in[0,T]$ , για μια δοσμένη συνάρτηση $\phi_{1}$ , θέτουμε τότε $U_{N+1}^{1}=\phi(t^{j})$ , $j=0,\dots,M$ . Έτσι, η μέθοδος (7.11) γίνεται

\begin{split}\displaystyle U_{i}^{j+1}&\displaystyle=(1+\lambda)U_{i}^{j}-% \lambda U_{i+1}^{j},\quad i=0,\dots,N,\ j=0,\dots,M-1,\\ \displaystyle U_{i}^{0}&\displaystyle=g(x_{i}),\quad i=0,\dots,N+1,\\ \displaystyle U_{N+1}^{j}&\displaystyle=\phi_{1}(t^{j}),\quad j=0,\dots,M.\end% {split}

(7.12)

Τώρα χρησιμοποιώντας την (7.12), μπορούμε να βρούμε με άμεσο τρόπο τις προσέγγισεις $U_{i}^{j}$ , σε όλα τα χρονικά επίπεδα $t^{j}$ , $j=1,\dots,M$ .

Παράδειγμα 7.2.

Ας θεωρήσουμε και πάλι το Παράδειγμα 7.1. Είναι απλό να δούμε ότι $u(b,t)=0$ , για $t\in[0,7]$ , επομένως μπορούμε να θέσουμε $U_{N+1}^{j}=0$ , $j=0,\dots,M$ . Για λόγο που θα φανεί από τα αριθμητικά αποτελέσματα, ας θεωρήσουμε ένα μεγαλύτερο διάστημα από αυτό του Παραδείγματος 7.1. Έτσι διαμερίζουμε το διάστημα $[-11,9]$ σε $N+2$ σημεία, με $N=199$ , έτσι ώστε το βήμα $h$ να είναι το ίδιο όπως στο Παράδειγμα 7.1. Επίσης, διαμερίζουμε το $[0,7]$ σε $M+1$ σημεία, με $M=63,77,98$ . Στο Σχήμα 7.4 βλέπουμε την ακριβή λύση $u$ για $t=0$ και τις προσεγγίσεις με τη μέθοδο downwind για $t=2$ . Παρατηρούμε ότι η προσέγγιση με τη μέθοδο downwind (7.12) και στις τρεις περιπτώσεις δίνει εσφαλμένες προσεγγίσεις για την ακριβή λύση.

Σχήμα 7.4: Η ακριβής λύση $u(x,t)$ του Παραδείγματος 7.2 και οι προσεγγίσεις της για $N=199$ και $M=63,77,98$ , με τη μέθοδο downwind για $t=0$ και $2$ .

Θεωρούμε τώρα το ανάλογο πρόβλημα με το (7.1) όπου τώρα $\alpha<0$ , δηλαδή: Ζητείται μια συνάρτηση $u$ $\in C^{1}([a,b]\times[0,T])$ , τέτοια ώστε

$\displaystyle u_{t}(x,t)+\alpha u_{x}(x,t)$	$\displaystyle=0,$	$\displaystyle\quad x\in[a,b],\ t\in[0,T],$	(7.13)
$\displaystyle u(x,0)$	$\displaystyle=g(x),$	$\displaystyle\quad x\in[a,b],$
$\displaystyle u(b,t)$	$\displaystyle=\phi_{1}(t),$	$\displaystyle\quad t\in[0,T],$

όπου $T>0$ και $g,\phi_{1}$ δοσμένες συναρτήσεις.

Για αυτό το πρόβλημα θεωρούμε τη μέθοδο downwind (7.12) και, σύμφωνα με το επόμενο παράδειγμα, παρατηρούμε μια διαφορετική συμπεριφορά της μεθόδου από το Παράδειγμα 7.2.

Παράδειγμα 7.3.

Θεωρούμε το πρόβλημα (7.13) στο διάστημα $[-11,9]$ , με $g$ όπως στο Παράδειγμα 1.2, $\phi_{1}(t)=g(x-\alpha t)$ και $\alpha=-1$ . Επίσης, διαμερίζουμε το διάστημα $[-11,9]$ σε $N+2$ σημεία, με $N=199$ και το $[0,7]$ σε $M+1$ σημεία, με $M=63,77,98$ , όπως και στο Παράδειγμα 7.2. Επειδή γνωρίζουμε ότι $u(b,t)=0$ , για $t\in[0,7]$ , μπορούμε να θέσουμε $U_{N+1}^{j}=0$ , $j=0,\dots,M$ . Στο Σχήμα 7.5 βλέπουμε την ακριβή λύση $u$ και τις προσεγγίσεις με τη μέθοδο downwind για $t=0,1,5,7$ . Παρατηρούμε ότι η μεθόδος downwind σε αυτό το παράδειγμα έχει παρόμοια συμπεριφορά με τη μέθοδο upwind στο Παράδειγμα 7.1.

Σχήμα 7.5: Η ακριβής λύση $u(x,t)$ του Παραδείγματος 7.3 και οι προσεγγίσεις της για $N=199$ και $M=63,77,98$ , με τη μέθοδο downwind για $t=0,1,5$ και $7$ .

Παρατηρούμε λοιπόν ότι αν η σταθερά $\alpha$ είναι θετική, τότε η μέθοδος upwind δίνει καλύτερα αποτελέσματα από τη μέθοδο downwind. Ενώ αν η σταθερά $\alpha$ είναι αρνητική, τότε η downwind δίνει καλύτερα αποτελέσματα από την upwind. Στην επόμενη παράγραφο θα εξηγήσουμε αυτή τη συμπεριφορά.

7.1.3 Χωρίο υπολογιστικής εξάρτησης

Ως πρώτο βήμα για την κατανόηση των αποτελεσμάτων των Παραδειγμάτων 7.1–7.3, δίνουμε τον ακόλουθο ορισμό.

Ορισμός 7.1.

Για κάθε σημείο $(x_{i},t^{j})$ του πλέγματος στο οποίο προσεγγίζουμε τη λύση $u$ , μπορούμε να ορίσουμε τα σημεία $(x_{\ell},0)$ , τέτοια ώστε οι τιμές $U_{\ell}^{0}$ καθορίζουν την τιμή της $U_{i}^{j}$ , σύμφωνα με το αριθμητικό σχήμα που χρησιμοποιούμε. Το σύνολο αυτών των σημείων $(x_{\ell},0)$ , το ονομάζουμε χωρίο υπολογιστικής εξάρτησης του $(x_{i},t^{j})$ , για το σχήμα που χρησιμοποιούμε.

Εύκολα παρατηρούμε ότι, χρησιμοποιώντας την μέθοδο upwind, η τιμή της προσέγγισης στο σημείο $(x_{i},t^{j})$ , εξαρτάται τελικά από τις τιμές στα σημεία $(x_{i-j},0)$ , $\dots$ , $(x_{i},0)$ . Ανάλογα, το χωρίο εξάρτησης της προσέγγισης στο $(x_{i},t^{j})$ με τη μέθοδο downwind αποτελείται από τα σημεία $(x_{i},0),\dots,(x_{i+j},0)$ , βλ. Σχήματα 7.6 και 7.7, αντίστοιχα. Γνωρίζουμε ότι η ακριβής λύση στο σημείο $(x_{i},t^{j})$ εξαρτάται μόνο από την τιμή της $u(x_{i}-\alpha t^{j},0)=g(x_{i}-\alpha t^{j})$ . Άρα, η τιμή της ακριβούς λύσης στο σημείο $(x_{i},t^{j})$ καθορίζεται μοναδικά από την τιμή στο σημείο $\bar{x}_{0}=x_{i}-\alpha t^{j}$ του άξονα των $x$ . Για αυτόν ακριβώς τον λόγο, επιθυμούμε το $\bar{x}_{0}$ να περιέχεται στο χωρίο υπολογιστικής εξάρτησης της μεθόδου. Αυτή η ιδιότητα δίνεται από τον ακόλουθο ορισμό.

Ορισμός 7.2.

Συνθήκη CFL καλούμε την ιδιότητα που ικανοποιεί μια μέθοδος αν το διάστημα ή τα σημεία εξάρτησης της ακριβούς λύσης σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, περιέχονται στο χωρίο υπολογιστικής εξάρτησης αυτής της μεθόδου.

Για να ικανοποείται η συνθήκη CFL, για την μέθοδο upwind αρκεί το διάστημα $[x_{i-j},x_{i}]$ , το οποίο περιέχει τα σημεία του χωρίου υπολογιστικής εξάρτησης $\{x_{i-j},\dots,x_{i}\}$ , να περιέχει το $\bar{x}_{0}=x_{i}-\alpha t^{j}$ . Επομένως, αρκεί $\alpha>0$ και $x_{i}-jh\leq\bar{x}_{0}$ , το οποίο ισχύει αν $\lambda=\dfrac{\alpha k}{h}\leq 1$ .

Στην περίπτωση τώρα της μεθόδου downwind, μπορούμε να δούμε ότι το διάστημα $[x_{i},x_{i+j}]$ , το οποίο περιέχει το αντίστοιχο χωρίο υπολογιστικής εξάρτησης, δεν περιέχει το σημείο $\bar{x}_{0}$ , αν $\alpha>0$ , και, άρα, η μέθοδος δεν ικανοποιεί τη συνθήκη CFL. Αντίθετα, αν $\alpha<0$ , τότε $\bar{x}_{0}\leq x_{i}+jh$ αν ισχύει $\lambda=\dfrac{\alpha k}{h}\geq-1$ .

Σχήμα 7.6: Χωρίο εξάρτησης της προσεγγιστικής λύσης με τη μέθοδο upwind.

Σχήμα 7.7: Χωρίο εξάρτησης της προσεγγιστικής λύσης με τη μέθοδο downwind.

7.1.4 Ευστάθεια και σύγκλιση

Θα μελετήσουμε τώρα την ευστάθεια von Neumann των μεθόδων upwind και downwind που θεωρήσαμε στις προηγούμενες παραγράφους. Αν η αρχική συνάρτηση $g$ είναι μια ημιτονοειδής συνάρτηση, π.χ. $g(x)=\sin(x)$ , τότε η ακριβής λύση του προβλήματος (7.1) θα έχει την ίδια μορφή και το ίδιο πλάτος ανεξάρτητα από το πρόσημο της σταθεράς $\alpha$ . Θεωρούμε, λοιπόν, ότι η προσεγγιστική λύση είναι της μορφής $U_{i}^{j}=w_{j}\sin(x_{i})$ και θα βρούμε συνθήκες, ώστε το πλάτος $w_{j}$ του ημιτονοειδούς “κύματος” να παραμένει φραγμένο.

Στην περίπτωση της μεθόδου upwind έχουμε, σύμφωνα με την (7.7),

w_{j+1}\sin(x_{i})=(1-\lambda)w_{j}\sin(x_{i})+\lambda w_{j}\sin(x_{i-1}).

Χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική ταυτότητα (5.18), έχουμε

w_{j+1}\sin(x_{i})=(1-\lambda)w_{j}\sin(x_{i})+\lambda w_{j}(\sin(x_{i})\cos(h% )-\sin(h)\cos(x_{i})).

Συνεπώς

w_{j+1}\sin(x_{i})=w_{j}((1-\lambda(1-\cos(h))\sin(x_{i})-\lambda\sin(h)\cos(x% _{i}))).

Αν θέσουμε τώρα $C_{1}=1-\lambda(1-\cos(h))$ και $C_{2}=-\lambda\sin(h)$ , τότε υπάρχουν σταθερές $A$ και $\phi\in[0,2\pi)$ , τέτοιες ώστε

C_{1}\sin(x_{i})+C_{2}\cos(x_{i})=A\sin(x_{i}+\phi)

όπου $A^{2}=C_{1}^{2}+C_{2}^{2}$ και $\tan(\phi)=C_{1}/C_{2}$ . Επομένως

w_{j+1}\sin(x_{i})=Aw_{j}\sin(x_{i}+\phi).

Οπότε για να είναι φραγμένη η προσεγγιστική λύση $U_{i}^{j}$ πρέπει $|A|\leq 1$ . Έχουμε, λοιπόν,

\begin{split}\displaystyle A^{2}&\displaystyle=C_{1}^{2}+C_{2}^{2}=(1-\lambda(% 1-\cos(h)))^{2}+\lambda^{2}\sin(h)^{2}\\ &\displaystyle=(1-\lambda)^{2}+\lambda^{2}+2\lambda(1-\lambda)\cos(h)\\ &\displaystyle=1-2\lambda(1-\lambda)(1-\cos(h))=1-4\lambda(1-\lambda)\sin^{2}(% h/2).\end{split}

(7.14)

Είναι προφανές ότι, αν $0\leq\lambda(1-\lambda)$ , τότε η μέθοδος upwind δίνει φραγμένες προσεγγίσεις αν $\lambda>0$ και $\lambda\leq 1$ . Οπότε αν η σταθερά $\alpha>0$ και $\lambda\in(0,1]$ , τότε η μέθοδος είναι von Neumann ευσταθής.

Στο ίδιο συμπέρασμα μπορούμε να καταλήξουμε, αν θεωρήσουμε ότι οι

U_{i}^{j}=w_{j}e^{rx_{i}I},\quad r\in\mathbb{R},

με $I=\sqrt{-1}$ τη φανταστική μονάδα, ικανοποιούν την (7.7). Για να έχουμε ευστάθεια θα εξετάσουμε αν οι $w_{j}$ παραμένουν φραγμένες. Τότε έχουμε ότι

	$\displaystyle w_{j+1}e^{rx_{i}I}$	$\displaystyle=(1-\lambda)w_{j}e^{rx_{i}I}+\lambda w_{j}e^{rx_{i-1}I}$
		$\displaystyle=(1-\lambda)w_{j}e^{rx_{i}I}+\lambda w_{j}e^{rx_{i}I}e^{-rhI}.$

Οπότε

	$\displaystyle w_{j+1}$	$\displaystyle=(1-\lambda)w_{j}+\lambda w_{j}e^{-rhI}$
		$\displaystyle=w_{j}(1-\lambda+\cos(rh)-I\sin(rh)).$

Επομένως, εύκολα βλέπουμε ότι $w_{j}=\kappa^{j}w_{0}$ , με $\kappa=1-\lambda+\cos(rh)-I\sin(rh)$ . Στη συνέχεια, θεωρώντας την απόλυτη τιμή $|\kappa|$ , έχουμε

	$\displaystyle\|\kappa\|^{2}$	$\displaystyle=(1-\lambda+\lambda\cos(rh))^{2}+\lambda^{2}\sin^{2}(rh)$
		$\displaystyle=1-2\lambda(1-\lambda)+2(1-\lambda)\cos(rh)$
		$\displaystyle=1-4\lambda(1-\lambda)\sin^{2}(\frac{rh}{2}).$

Για να παραμένουν φραγμένες οι $w_{j}$ , αρκεί $|\kappa|^{2}\leq 1$ , το οποίο είναι ισοδύναμο με

0\leq\lambda(1-\lambda)\sin^{2}(\frac{rh}{2}).

Συνεπώς, για $0\leq\lambda\leq 1$ , και για κάθε $r\in\mathbb{R}$ , έχουμε ότι $w_{j}$ παραμένουν φραγμένες και, άρα, η μέθοδος upwind είναι von Neumann ευσταθής.

Στη συνέχεια, θα εξετάσουμε την ευστάθεια von Neumann της μεθόδου downwind. Θεωρούμε λοιπόν ότι οι $U_{i}^{j}=w_{j}e^{rx_{i}I}$ ικανοποιούν την (7.11), οπότε

w_{j+1}e^{rx_{i}I}=(1+\lambda)w_{j}e^{rx_{i}I}-\lambda w_{j}e^{rx_{i+1}I},

Συνεπώς, έχουμε

w_{j+1}e^{rx_{i}I}=(1+\lambda)w_{j}e^{rx_{i}I}-\lambda w_{j}e^{rx_{i}I}e^{rhI}.

Επομένως, $w_{j}=\kappa w_{0}$ , με $\kappa=1+\lambda-\lambda\cos(rh)-I\lambda\sin(rh)$ . Οπότε για την απόλυτη τιμή του $|\kappa|$ έχουμε

	$\displaystyle\|\kappa\|^{2}$	$\displaystyle=(1+\lambda-\lambda\cos(rh))^{2}+\lambda^{2}\sin^{2}(rh)$
		$\displaystyle=1+2\lambda(1+\lambda)-2(1+\lambda)\cos(rh)$
		$\displaystyle=1+4\lambda(1+\lambda)\sin^{2}(\frac{rh}{2}).$

Επομένως, αν $0\geq\lambda(1+\lambda)$ , τότε η μέθοδος downwind δίνει φραγμένες προσεγγίσεις αν $\lambda<0$ και $\lambda\geq-1$ . Οπότε αν $\alpha<0$ και $\lambda\in[-1,0)$ , τότε η μέθοδος downwind είναι von Neumann ευσταθής.

Στη συνέχεια δείχνουμε τα ακόλουθα θεωρήματα για τη σύγκλιση των μεθόδων upwind και downwind.

Θεώρημα 7.1.

Έστω ότι η λύση $u$ του προβλήματος (7.1) είναι αρκετά ομαλή με $\alpha>0$ , και $U_{i}^{j}$ , $i=1,\dots,N$ , $j=0,\dots,M$ , η λύση της μεθόδου upwind (7.6). Τότε, αν $0\leq\lambda\leq 1$ , υπάρχει μια σταθερά $C$ , ανεξάρτητη των $k, h$ , τέτοια ώστε

\max_{1\leq j\leq M}\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}^{j}-u(x_{i},t^{j})|\leq C(k+h).

(7.15)

Απόδειξη.

Θέτουμε $E_{i}^{j}=U_{i}^{j}-u(x_{i},t^{j})$ , $i=0,\dots,N+1$ , $j=0,\dots,M$ , όπου λόγω της σχέσης $U_{0}^{j}=u(0,t^{j})=0$ έχουμε $E_{0}^{j}=0$ . Αφαιρούμε τώρα κατά μέλη τις (7.3) και (7.6), οπότε παίρνουμε

E_{i}^{j+1}=(1-\lambda)E_{i}^{j}+\lambda E_{i-1}^{j}+k\eta_{i}^{j},\ i=1,\dots% ,N,\ j=0,\dots,M-1.

Θέτουμε, στη συνέχεια, $\bar{E}^{j}=\max_{1\leq i\leq N}|E_{i}^{j}|$ και $\bar{\eta}=\max_{1\leq j\leq M}\max_{0\leq i\leq N+1}|\eta_{i}^{j}|$ . Οπότε έχουμε

\bar{E}^{j+1}\leq(1-\lambda)\bar{E}^{j}+\lambda\bar{E}^{j}+k\bar{\eta}\leq\bar% {E}^{j}+k\bar{\eta}\leq\dots\leq\bar{E}^{0}+jk\bar{\eta}.

Από εδώ, επειδή $jk\leq T$ και λόγω του Λήμματος 7.1, προκύπτει η ζητούμενη εκτίμηση. ∎

Θεώρημα 7.2.

Έστω ότι η λύση $u$ του προβλήματος (7.13) είναι αρκετά ομαλή με $\alpha<0$ , και $U_{i}^{j}$ , $i=1,\dots,N$ , $j=0,\dots,M$ , η λύση της μεθόδου downwind (7.12). Τότε, αν $0\geq\lambda\geq-1$ , υπάρχει μια σταθερά $C$ , ανεξάρτητη των $k, h$ , τέτοια ώστε

\max_{1\leq j\leq M}\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}^{j}-u(x_{i},t^{j})|\leq C(k+h).

(7.16)

Απόδειξη.

Θέτουμε και πάλι $E_{i}^{j}=U_{i}^{j}-u(x_{i},t^{j})$ , $i=0,\dots,N+1$ , $j=0,\dots,M$ . Οπότε με ανάλογο τρόπο όπως στο Θεώρημα 7.1, παίρνουμε

E_{i}^{j+1}=(1+\lambda)E_{i}^{j}-\lambda E_{i-1}^{j}+k\eta_{i}^{j},\ i=1,\dots% ,N,\ j=0,\dots,M-1.

Θέτουμε, στη συνέχεια, $\bar{E}^{j}=\max_{1\leq i\leq N}|E_{i}^{j}|$ και $\bar{\eta}=\max_{1\leq j\leq M}\max_{0\leq i\leq N+1}|\eta_{i}^{j}|$ . Οπότε έχουμε

\bar{E}^{j+1}\leq(1-|\lambda|)\bar{E}^{j}+|\lambda|\bar{E}^{j}+k\bar{\eta}\leq% \bar{E}^{j}+k\bar{\eta}\leq\dots\leq\bar{E}^{0}+jk\bar{\eta}.

Από εδώ, επειδή $jk\leq T$ και λόγω του γεγονός ότι το σφάλμα $\eta_{i}^{j}$ για τη μέθοδο downwind ικανοποιεί το Λήμμα 7.1, προκύπτει η ζητούμενη εκτίμηση. ∎