7 Εξίσωση μεταφοράς 7.4 Ταινίες γραφικών παραστάσεων Βιβλιογραφία Κεφαλαίου 7

7.5 Ασκήσεις

7.1

Δείξτε ότι οι μέθοδοι upwind και Lax–Wendroff δίνουν την ακριβή λύση για $\lambda=1$ .
7.2
Θεωρούμε τη μέθοδο

$(1+\lambda)U_{i}^{j+1}+(1-\lambda)U_{i-1}^{j+1}=(1-\lambda)U_{i}^{j}+(1+% \lambda)U_{i-1}^{j},$

για την επίλυση του προβλήματος (7.1), όπου με $\lambda$ συμβολίζουμε τον λόγο $\frac{\alpha k}{h}$ .
1. (a)
  
  Βρείτε το σφάλμα διακριτοποίησης αυτής της μεθόδου.
2. (b)
  
  Ποια είναι η συνθήκη CFL για αυτή τη μέθοδο $;$
3. (c)
  
  Αν για κάθε $j$ η τιμή $U_{0}^{j+1}$ είναι γνωστή, δείξτε ότι το σχήμα είναι άμεσο.
4. (d)
  
  Είναι von Neumann ευσταθής $;$
7.3
Θεωρούμε τη μέθοδο

$U_{i}^{j+1}=U_{i}^{j-1}-\lambda(U_{i+1}^{j}-U_{i-1}^{j}),$

για την επίλυση του προβλήματος (7.1), όπου με $\lambda$ συμβολίζουμε τον λόγο $\frac{\alpha k}{h}$ .
1. (a)
  
  Βρείτε το σφάλμα διακριτοποίησης αυτής της μεθόδου.
2. (b)
  
  Ποια είναι η συνθήκη CFL για αυτή τη μέθοδο $;$
3. (c)
  
  Αν για κάθε $j$ η τιμή $U_{0}^{j+1}$ είναι γνωστή, δείξτε ότι το σχήμα είναι άμεσο.
4. (d)
  
  Δείξτε ότι είναι von Neumman ευσταθής για $\lambda<1$ και ασταθής για $\lambda>1$ $;$
7.4
Θεωρούμε τη μέθοδο

$U_{i}^{j+1}=\frac{1}{4}\lambda(\lambda-1)U_{i-2}^{j}+\frac{1}{4}\lambda(5-% \lambda)U_{i-1}^{j}-\frac{1}{4}(\lambda-1)(\lambda+4)U_{i}^{j}+\frac{1}{4}% \lambda(\lambda-1)U_{i+1}^{j}.$
1. (a)
  
  Βρείτε το σφάλμα διακριτοποίησης της μεθόδου.
2. (b)
  
  Ποια είναι η συνθήκη CFL για αυτή τη μέθοδο $;$
3. (c)
  
  Είναι η μέθοδος von Neumman ευσταθής $;$
7.5
Θεωρούμε ένα αριθμητικό σχήμα που χρησιμοποιεί τις τιμές $U_{i}^{j+1}$ , $U_{i-1}^{j}$ , $U_{i}^{j}$ και $U_{i-1}^{j-1}$ , για την προσέγγιση της λύσης της εξίσωσης (1.35).
1. (a)
  
  Βρείτε το σχήμα, ώστε η μέθοδος να είναι συνεπής και το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης να είναι δεύτερης τάξης ως προς $h$ και πρώτης ως προς $k$ .
2. (b)
  
  Είναι η μέθοδος άμεση ή πεπλεγμένη $;$
3. (c)
  
  Ποια είναι η συνθήκη CFL για αυτή τη μέθοδο $;$
4. (d)
  
  Είναι von Neumann ευσταθής $;$
7.6
Θεωρούμε ένα αριθμητικό σχήμα που χρησιμοποιεί τις τιμές $U_{i+1}^{j+1}$ , $U_{i}^{j+1}$ , $U_{i-1}^{j+1}$ , $U_{i+1}^{j}$ , $U_{i}^{j}$ και $U_{i-1}^{j}$ , για την προσέγγιση της λύσης της εξίσωσης (1.35).
1. (a)
  
  Βρείτε το σχήμα, ώστε η μέθοδος να είναι συνεπής και το σφάλμα διακριτοποίησης να είναι δεύτερης τάξης ως προς $h$ και $k$ .
2. (b)
  
  Είναι η μέθοδος άμεση ή πεπλεγμένη $;$
3. (c)
  
  Ποια είναι η συνθήκη CFL για αυτή τη μέθοδο $;$
4. (d)
  
  Είναι von Neumann ευσταθής $;$