Αριθμητική Λύση Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων

ΜΕΜ 252 - Χειμερινό 2022

Ημερολόγιο μαθήματος

Εβδομάδα #1 (26/9/22-30/9/22)

Εισαγωγή. Προβλήματα Αρχικών Τιμών. Ύπαρξη-μοναδικότητα λύσης. Συνθήκη Lipschitz (ολική - τοπική).

Ευστάθεια ΠΑΤ. Αριθμητική προσέγγιση της λύσης του ΠΑΤ με τη μέθοδο του Euler.

Εργαστήριο: Επαναλήψη python, Επαναλήψη Numpy 1 , Επαναλήψη Numpy 2 , Επαναλήψη Numpy 3, Επαναλήψη plot

Εβδομάδα #2 (3/10/22-7/10/22)

Σύγκλιση και εκτίμηση σφάλματος της μεθόδου Euler.

Εργαστήριο: 2ο

Εβδομάδα #3 (10/10/22-14/10/22)

Ευστάθεια μεθόδου Euler. Ολικό σφάλμα και τοπικό σφάλμα (διακριτοποίησης) μιας αριθμητικής μεθόδου. Μέθοδος Taylor (2). Πεπλεγμένη Μέθοδος Euler.

Ύπαρξη και μοναδικότητα της προσεγγιστικής λύσης της πεπλεγμένης μεθόδου Euler.

Μέθοδος Τραπεζίου. Ύπαρξη και μοναδικότητα της προσεγγιστικής λύσης της πεπλεγμένης μεθόδου Euler.

Τοπικό σφάλμα μεθόδων πεπλεγμένης Euler και Τραπεζίου

Εργαστήριο: 3ο

Εβδομάδα #4 (17/10/22-21/10/22)

Σύγκλιση πεπλεγμένης μεθόδου Euler και μεθόδου τραπεζίου. Ασκήσεις (μέθοδος Euler).

Πεπλεγμένη μέθοδος του μέσου. Εισαγωγή στις μεθόδους Runge-Kutta.

Εργαστήριο: 4ο

Εβδομάδα #5 (24/10/22-28/10/22)

Παραδείγματα μεθόδων Runge-Kutta. Τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης μιας μεθόδου Runge-Kutta ενός σταδίου. Τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης μιας άμεσης μεθόδου Runge-Kutta δύο σταδίων. Ελάχιστες συνθήκες που πρεπει να ικανοποιούν οι συντελεστές μιας μεθόδου Runge-Kutta (Ακριβή ολοκλήρωση σταθερών συναρτήσεων)

Εργαστήριο: 5ο

Εβδομάδα #6 (31/10/22-4/11/22)

Επιλυσιμότητα μεθόδων Runge-Kutta. Ευστάθεια μεθόδων Runge-Kutta. Σύγκλιση μεθόδων Runge-Kutta.

Εργαστήριο: 6ο

Εβδομάδα #7 (7/11/22-11/11/22)

Τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης μιας άμεσης μεθόδου Runge-Kutta τριών σταδίων. Εισαγωγή στις πολυβηματικές μεθόδους. Τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης πολυβηματικών μεθόδων. Συνθήκη Συνέπειας πολυβηματικών μεθόδων. Τάξη ακρίβειας πολυβηματικών μεθόδων.

1η Εργαστηριακή Εξέταση.

Εβδομάδα #8 (14/11/22-18/11/22)

Εξίσωση διαφορών και προσδιορισμός των λύσεων της. Ευστάθεια και συνθήκη των ριζών. Σύγκλιση-Ευστάθεια-Συνέπεια.

Εργαστήριο: 7ο

Εβδομάδα #9 (21/11/22-25/11/22)

Μέθοδοι Πρόβλεψης-Διόρθωσης. Απόλυτη ευστάθεια. Περιοχή απόλυτης ευστάθειας. Α-ευστάθης μέθοδοι. Περιοχή απόλυτης ευστάθειας μεθόδων Euler, πεπλεγμένης Euler, Τραπεζίου

Εργαστήριο: 8ο

Εβδομάδα #10 (28/11/22-2/12/22)

Απόλυτη ευστάθεια μεθόδων Runge-Kutta και πολυβηματικών μεθόδων. Ασκήσεις

Εργαστήριο: 9ο

Εβδομάδα #11 (5/12/22-9/12/22)

Προβλήματα Συνοριακών Τιμών. Ασκήσεις

Εργαστήριο: 10ο

Εβδομάδα #12 (12/12/22-16/12/22)

Ασκήσεις

2η Εργαστηριακή Εξέταση.