[alogo] Αντισυμπληρωματικό και περιπαραβολές

Έστω ότι οι κορυφές τους αρχικού μας τριγώνου, που είναι τα σημεία {a,b,c}, ευρίσκονται επί της παραβολής 4ky-x2=0 (το k είναι η απόσταση κορυφής-εστίας). Θεώρησε επίσης τα σημεία {a'=b+c-a, b'=c+a-b, c'=a+b-c} που είναι οι κορυφές του αντισυμπληρωματικού τριγώνου του αρχικού.
Οι παράλληλες ευθείες από τα {a',b',c'} προς τον άξονα της παραβολής συναντούν τις απέναντι πλευρές του αντισυμπληρωματικού τριγώνου σε σημεία της παραβολής.

[0_0] [0_1]
[1_0] [1_1]

Πράγματι, η παράλληλος L1 προς τον y-άξονα από το a'=b+c-a, είναι η ευθεία με σταθερή x-συντεταγμένη και ιση προς (b1+c1-a1).Η ευθεία L2 διερχόμενη από τα {b',c'} περιγράφεται παραμετρικά από την b'+t(c'-b) και συναντά την L1 σε σημείο έτσι ώστε b'1+t(c'1-b1)=b1+c1-a1. Από αυτήν προκύπτει αμέσως ότι
t=(b1-a1)/(b1-c1).
Άρα, η y-συντεταγμένη του σημείου τομής είναι b'2+t(c'2-b'2)=a2+(2t-1)(b2-c2) , η οποία αντικαθιστώντας y2=x12/(4k) ανάγεται στην (1/(4k))(b1+c1-a1)2, που αποδεικνύει τον ισχυρισμό.

Παρατήρηση-1 Έπεται ότι γιά κάθε τριάδα μη-συγγραμμικών σημείων {A,B,C} και κάθε ευθεία L, υπάρχει κωνική διερχόμενη από τα 6 σημεία {A,B,C,A'',B'',C''}, όπου τα τρία τελευταία σημεία είναι τα σημεία τομής των παραλλήλων προς την L από τις κορυφές του αντισυμπληρωματικού τριγώνου με τις απέναντι πλευρές του.
Επιπλέον, γιά όλες τις ευθείες που δεν είναι παράλληλες προς πλευρές του ABC η αντίστοιχη παραβολή είναι γνήσια, ενώ γιά τις κατευθύνσεις που συμπίπτουν με πλευρές του τριγώνου η αντίστοιχη παραβολή εκφυλίζεται στην ένωση δύο παραλλήλων ευθειών.

Παρατήρηση-2 Οι παραβολές εφάπτονται της ευθείας στο άπειρο στο "σημείο" που αντιστοιχεί στην κατεύθυνση του άξονά τους. Αυτό χρησιμοποιείται στην αναφορά που γίνεται παρακάτω.

Οι παρατηρήσεις οδηγούν σε μιά απλή περιγραφή όλων των παραβολών που περιγράφονται σε τρίγωνο. Δείτε το αρχείο Κωνικές περιγεγραμμένες και εφαπτόμενες ευθείας . Μιά άλλη προσέγγιση του ίδιου θέματος περιέχεται στο Παραβολές περιγεγραμμένες περί τρίγωνο γιά μιά σχετική συζήτηση.

Δείτε ακόμη

Κωνικές περιγεγραμμένες και εφαπτόμενες ευθείας
Παραβολές περιγεγραμμένες περί τρίγωνο

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Δημιουργήθηκε με το EucliDraw©