AllParabolasCircumscribed

1. Παραβολές περιγεγραμμένες περί τρίγωνο

Πρόβλημα: Κατασκεύασε όλες τις παραβολές που περνούν από τρία δοθέντα σημεία A, B, C.

Η λύση μπορεί να βρεθεί με έναν πολύ απλό και δομημένο τρόπο, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα του αντισυμπληρωματικού τριγώνου A'B'C' σε σχέση με τον άξονα της παραβολής που εκτίθεται στο Αντισυμπληρωματικό και περγιγεγραμμένη παραβολή .
Εκεί αποδεικνύεται ότι οι παράλληλες προς τον άξονα μιάς παραβολής που περιγράφεται στο τρίγωνο ABC από τις κορυφές του αντισυμπληρωματικού τριγώνου A'B'C' συναντούν τις απέναντι πλευρές του A'B'C' επί της παραβολής.
Συνεπώς, παίρνοντας ένα σημείο οδηγό D στον περίκυκλο και ορίζοντας τον άξονα της παραβολής κατά την διεύθυνση OD (O το περίκεντρο του ABC), παίρνουμε όλες τις παραβολές που περιγράφονται του ABC προσδιορίζοντας τρία πρόσθετα σημεία {A'',B'',C''} από τα οποία περνά η παραβολή.
Τα σημεία {A'',B'',C''} είναι αντίστοιχα οι τομές των παραλλήλων προς την OD από τις κορυφές {A',B',C'} με τις απέναντι πλευρές αυτού του τριγώνου.

Έχοντας έξι σημεία της παραβολής μπορούμε να την σχεδιάσουμε με το εργαλείο που ορίζει κωνική από πέντε σημεία της (διαλέγοντας πέντε από τα έξι). Γιά έναν άλλο τρόπο ορισμού της παραβολής δες το αρχείο Παραγωγή περιγεγραμμένης παραβολής .
Σημείωσε ότι υπάρχει τρεις ειδικές κατευθύνσεις της OD γιά τις οποίες η παραβολή εκφυλίζεται σε ένα ζεύγος παραλλήλων ευθειών. Αυτό γίνεται όταν η OD είναι παράλληλος προς τις πλευρές του αρχικού τριγώνου. Γιά παράδειγμα όταν η OD τείνει να γίνει παράλληλος της AB, τα σημεία {A,B,C''} και {A'',B'',C} τείνουν να γίνουν αντίστοιχα συγγραμμικά, και οι δύο ευθείες που τα φέρουν είναι η AB και η παράλληλός της από το C.

Παρατήρηση-1 Το σχήμα δείχνει επίσης ότι τον τόπο του αντίστοιχου κέντρου προοπτικότητας της περι-παραβολής. Είναι η εσωτερική έλλειψη του Steiner του τριγώνου ABC. Παρεμπιπτόντως, μνημονεύω εδώ τον δομικό ρόλο της εσωτερικής έλλειψης του Steiner ενός τριγώνου. Γιά κέντρα προοπτικότητας επί αυτής της έλλειψης η αντίστοιχη κωνική είναι παραβολή. Κέντρα προοπτικότητας εντός της έλλειψης αυτής παράγουν ελλείψης και κέντρα προοπτικότητας εκτός αυτής της έλλειψης παράγουν υπερβολές.

Παρατήρηση-2 Υπάρχουν πρόσθετες ιδιότητες εδώ, όπως λ.χ. η επαφή της παραβολής στην ευθεία στο άπειρο, που με την σειρά της είναι η τριγραμμική πολική του κέντρου βάρους G του τριγώνου. Η γενίκευση όλων αυτών των ιδιοτήτων εξετάζεται σε ένα πιό γενικό πλαίσιο στο αρχείο Κωνικές περιγεγραμμένες εφαπτόμενες ευθείας .

2. Παραβολές διά τεσσάρων σημείων

Δοθέντων τεσσάρων σημείων {A,B,C,D} σε γενική θέση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προηγούμενη κατασκευή γιά να ανιχνεύσουμε την ύπαρξη παραβολής διερχομένης από τα τέσσαρα αυτά σημεία. Προς τούτο θεώρησ το σύνολο S όλων των παραβολών διά των {A,B,C} και προσδιόρισε τα σημεία D γιά τα οποία υπάρχει παραβολή διερχόμενη δια του D.

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι κάθε παραβολή που διέρχεται από τα {A,B,C} δεν έχει σημεία εντός των γωνιακών τομέων που υποδεικνύονται παραπάνω. Άρα, (i) γιά κάθε σημείο D₀ περιεχόμενο σε έναν από αυτούς τους τομείς δεν υπάρχει παραβολή διερχόμενη από τα σημεία {A,B,C,D₀}, (ii) γιά κάθε σημείο D₂ στο ανοιχτό συμπλήρωμα αυτών των τομέων υπάρχουν πάντα δύο παραβολές διερχόμενες από τα σημεία {A,B,C,D₂}.
Όσον αφορά την ύπαρξη και κατασκευή αυτών των παραβολών, μπορεί κανείς να εφαρμόσει την γενική θεωρία των κωνικών που περνούν από τέσσαρα σημεία και εφάπτονται δοθείσης ευθείας (δες Τέσσαρα σημεία και εφαπτόμενη ). Στην παρούσα περίπτωση η ευθεία που μνημονεύεται παραπάνω είναι η ευθεία στο άπειρο.
Παρατήρηση Η συνθήκη ύπαρξης παραβολής διερχόμενης από τέσσαρα σημεία, που διατυπώνεται παραπάνω χρησιμοποιώντας τους γωνιακούς τομείς, είναι ισοδύναμη με την ύπαρξη κυρτού τετραπλεύρου που με κορυφές τα σημεία {A,B,C,D}.

3. Παραβολές διά τεσσάρων σημείων, οι άξονες

Δοθέντων τεσσάρων σημείων {A,B,C,D} που ικανοποιούν την συνθήκη κυρτότητας της προηγουμένης παραγράφου (παρατήρηση), υπάρχουν δύο παραβολές διερχόμενες δια των σημείων αυτών. Οι άξονές τους μπορούν να προσδιορισθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα ενέλιξης του Desargues (δες Ενέλιξη Desargues ).

Πράγματι, το σύστημα όλων των κωνικών που διέρχονται από αυτά τα τέσσαρα σημεία ορίζουν μέσω των σημείων τομής τους με μιά σταθερή ευθεία L μιά ομοιογραφική ενέλιξη (δες Ενέλιξη, βασικά ). Διαλέγοντας την ευθεία L να είναι η ευθεία στο άπειρο, οι δύο παραβολές αντιστοιχούν στα σταθερά σημεία αυτής της ενέλιξης, πράγμα που μεταφράζεται στις κατευθύνσεις των αξόνων αυτών των παραβολών.
Έτσι, ταυτίζοντας την ευθεία στο άπειρο με την δέσμη O* των ευθειών που διέρχονται από το αυθαίρετο αλλά σταθερό σημείο O, μπορούμε να κατασκευάσουμε τα σταθερά σημεία μιάς ενέλιξης στην O*.
[1] Η ενέλιξη ορίζεται μέσω των σημείων τομής μιά αυθαίρετης αλλά σταθερής ευθείας L και των ευθειών της δέσμης O*.
[2] Ακριβέστερα, δοθέντων των τεσσάρων σημείων {A,B,C,D} θεώρησε τα ζεύγη σημείων της L: (A',C'), (B',D') που ορίζονται τέμνοντας την L με παράλληλες προς τις {FA,FC,EB,ED}.
[3] Τα δύο ζεύγη (A',C'), (B',D') ορίζουν μονοσήμαντα μιά ενέλιξη της L, που μπορεί να παρασταθεί με τις τομές κύκλων μιάς δέσμης παραγόμενης από τους κύκλους με διαμέτρους τα A'C' και B'D' (δες Ενέλιξη ).
[4] Τα σταθερά σημεία αυτής της ενέλιξης είναι τα οριακά σημεία M, N της δέσμης κύκλων. Μπορούν να κατασκευασθούν εύκολα τέμνοντας την L με αυθαίρετο κύκλο (c) που είναι ταυτόχρονα ορθογώνιος προς τους κύκλους με διαμέτρους A'C' και B'D'.
[5] Οι άξονες της παραβολής είναι παράλληλοι προς τις ευθείες OM και ON.

4. Η περίπτωση του τραπεζίου

Όταν τα τέσσαρα σημεία {A,B,C,D} είναι κορυφές τραπεζίου, τότε υπάρχει μία μη-εκφυλισμένη παραβολή, που η κατασκευή της εξετάζεται στο Παραβολή περιγράφουσα τραπέζιο . Η άλλη παραβολή είναι εκφυλισμένη και παριστάνεται από την ένωση των δύο ευθειών που φέρουν τις παράλληλες πλευρές του τραπεζίου.

Δείτε ακόμη

Αντισυμπληρωματικό και περγιγεγραμμένη παραβολή
Παραβολή περιγράφουσα τραπέζιο
Ενέλιξη
Ενέλιξη, βασικά
Ενέλιξη Desargues
Τέσσαρα σημεία και εφαπτόμενη
Κωνικές περιγεγραμμένες εφαπτόμενες ευθείας
Παραγωγή περιγεγραμμένης παραβολής

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/