Auxiliary

Βοηθητικός κύκλος έλλειψης

Δίδεται έλλειψη μέ άξονες a=HE, b=HI (a>b) και εξίσωση x²/a² + y²/b² =1. Τα σημεία {D, E} λέγονται κορυφές. Ο βοηθητικός κύκλος της έλλειψης είναι ο επί διαμέτρου DE. Γιά κάθε σημείο A της έλλειψης η κάθετη GA τέμνει τον βοηθητικό κύκλο σε σημείο F, που ορίζει την έκκεντρη γωνία φ = (EHF) του σημείου A. Γιά τις συντεταγμένες (x,y) του A ισχύει x = a*cos(φ) και y = b*sin(φ). Η πρώτη είναι προφανής, επειδή HF = HE = a. Η δεύτερη έπεται από τις σχέσεις:

Επίσης ισχύει FG² = DG*GE, άρα AG²/b² = FG²/a², ή AG/FG = b/a. Άρα η FG=a*sin(φ) συνεπάγεται την AG = y = b*sin(φ).
Η ιδιότητα αυτή υπαγορεύει έναν τρόπο κατασκευής της έλλιψης μέ άξονες {a, b}.
Θεώρησε κύκλο ακτίνας a, πάρε διάμετρό του DE και από κάθε σημείο F του κύκλου φέρε κάθετο FG επί της DE. Επί της καθέτου αυτής πάρε σημείο A, έτσι ώστε AG/FG = b/a, όπου 0 < b < a σταθερός αριθμός. Ο τόπος των σημείων A είναι έλλειψη με άξονες {a,b}.
O άξων επί του οποίου προβάλλουμε τα σημεία του κύκλου δεν είναι ανάγκη να είναι μία διάμετρος του κύκλου. Παράγεται και έλλειψη, μάλιστα ισομετρική της προηγουμένης, προβάλλοντας τα σημεία F σε αυθαίρετη ευθεία. Το θέμα αυτό εξετάζεται στο Έλλειψης κατασκευή II .
Η τομή των ευθειών I'J', I''J'' σε σημείο K του κύριου άξονα είναι συνέπεια των προηγηθέντων. Ανάλογη ιδιότητα ισχύει και γιά τις τομές με ευθείες κάθετες προς τον ελάσσονα (εδώ ο κάθετος) άξονα της έλλειψης.

Δείτε ακόμη

Έλλειψης κατασκευή

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/