Brianchon

Θεώρημα του Brianchon

Σε κάθε περιγράψιμο σε κύκλο εξάγωνο, οι διαγώνιοι, οι ενούσες απέναντι κορυφές, διέρχονται διά κοινού σημείου Ο.

Για την απόδειξη πάρε αυθαίρετο τμήμα (MN) και μετάφερέ το στις εφαπτόμενες, αρχίζοντας από τα σημεία επαφής: PL = RJ = QH = MN κτλ. Όρισε κύκλους a, b, c εφαπτόμενους σε απέναντι πλευρές του εξαγώνου, στα δημιουργηθέντα ζεύγη σημείων (H,W), (J,V) και (L,Y) αντίστοιχα. Βλέπει κανείς εύκολα ότι οι συντρέχουσες ευθείες συμπίπτουν με τους ριζικούς άξονες ab, bc, ca των τριών κύκλων ανά δύο, αντίστοιχα. Έτσι το O συμπίπτει με το ριζικό κέντρο των τριών κύκλων.

Το θεώρημα παίρνει ειδικές μορφές στις περιπτώσεις περιγραψίμων πενταγώνων π.χ. όταν τα R και Q τείνουν να συμπέσουν με το F, μιά περίπτωση όπου η τεθλασμένη AFE μετατρέπεται στην εφαπτόμενη στο F. Κατόπιν κάνοντας επιπλέον ταύτιση των T,C και U, παίρνουμε αντίστοιχη πρόταση για τετράπλευρα. Αυτές οι ειδικές περιπτώσεις εξετάζονται στο: Brianchon2.html .

Σημείωσε ότι το θεώρημα αυτό είναι το (προβολικά) δυϊκό του θεωρήματος του Pascal και ισχύει για εξάγωνα περιγράψιμα σε κωνική. Για ένα αντίστοιχο σχήμα δές: Brianchon3.html ..

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/