[alogo] Θεώρημα του Ceva

Θεώρησε τρίγωνο ABC και τρία σημεία: D επί της BC, E επί της CA και F επί της AB. Μιά αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε οι τρεις ευθείες {AD, BE, CF} να συντρέχουν σε σημείο K ή να είναι παράλληλες (συντρέχουν σε σημείο στο άπειρο) είναι η
(DB/DC)(EC/EA)(FA/FB) = -1.
Εδώ θεωρώ προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα, έτσι ώστε ο λόγος (FA/FB) να είναι αρνητικός γιά σημεία F μεταξύ των A και B και θετικός γιά σημεία F εκτός του ευθυγράμμου τμήματος AB. Έτσι, στην περίπτωση του επομένου σχήματος, όλοι οι παράγοντες του προηγουμένου γινομένου είναι αρνητικοί.

Τρεις ευθείες διά των κορυφών του τριγώνου που συντρέχουν σε σημείο K λέγονται σεβιανές του τριγώνου. Γνωστές σεβιανές, είναι οι διάμεσοι, τα ύψη, οι διχοτόμοι, οι συμμετροδιάμεσοι κ.α..

[0_0] [0_1] [0_2]

Η απόδειξη προκύπτει εφαρμόζοντας το θεώρημα του Μενελάου δύο φορές.
Πρώτα στο τρίγωνο ACF και την ευθεία EK, που δίνει (EA/EC)(BF/BA)(KC/KF)=1.
Κατόπιν στο τρίγωνο CFB και την ευθεία KD που δίνει (DC/DB)(KF/KC)(AB/AF) = 1.
Πολλαπλασιάζοντας τις δύο πλευρές (EA/EC)(FB/FA)(DC/DB)=-1. Τούτο αποδεικνύει το αναγκαίο. Το ικανό αποδεικνύεται με αντίφαση χρησιμοποιώντας το αναγκαίο. Το επιχείρημα είναι το ίδιο με αυτό του θεωρήματος του Μενελάου.
Το θεώρημα του Ceve είναι ισοδύναμο με το θεώρημα του Μενελάου. Εδώ αποδείχθηκε ότι το θεώρημα του Ceva προκύπτει από αυτό του Μενελάου. Γιά το κάπως δυσκολώτερο του Μενελάου από του Ceva δείτε το Μενέλαος από Ceva .
Άσκηση: Δείξτε την πρόταση όταν το K τείνει στο άπειρο, οπότε οι ευθείες AD, BE και CF είναι όλες παράλληλες στην ίδια ευθεία.

Δείτε ακόμη

Μενέλαος από Ceva

Βιβλιογραφία

Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1967, p. 4.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

Δημιουργήθηκε με το EucliDraw©