Θεώρησε τρίγωνο ABC και τρία σημεία D στην AC, E στην BA και F στην CB. Αναγκαία και ικανή συνθήκη γιά την συγγραμμικότητα των τριών σημείων {D,E,F} είναι η
(DA/DC)(EB/EA)(FC/FB) = 1.
Στον τύπο αυτό λαμβάνουμε υπόψη τον προσανατολισμό των τμημάτων. Έτσι, λόγοι τμημάτων όπως ο (FB/FA) είναι αρνητικοί γιά σημεία F μεταξύ των A και B και θετικοί γιά θέσεις του F εκτός του διαστήματος [AB].
Εδώ αποδεικνύουμε το θεώρημα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Ceva (δες Θεώρημα του Ceva (*) ).
Παρατήρηση: Καθώς στο (*) αποδείξαμε το θεώρημα του Ceva από το θεώρημα του Μενελάου, τα δύο θεωρήματα αποδεικνύονται ισοδύναμα.
Η απόδειξη, που οφείλεται στον John R. Silvester, μπορεί να περιγραφεί ως εξής:
Εφάρμοσε το θεώρημα του Ceva στα αντίστοιχα τρίγωνα + σεβιανές από σημεία :
BCE με σεβιανές BA, CX, ED, διά του F => (AC/AE)(XE/XB)(DB/DC)=1,
CAF με σεβιανές CB, AY, FE, διά του D => (BA/BF)(YF/YC)(EC/EA)=1 ,
ABD με σεβιανές AC, BZ, DF, διά του E => (CB/CD)(ZD/ZA)(FA/FB)=1 ,
BEF με σεβιανές BD, EA, FX, διά του C => (DE/DF)(AF/AB)(XB/XE)=1 ,
CFD με σεβιανές CE, FB, DY, διά του A => (EF/ED)(BD/BC)(YC/YF)=1 ,
ADE με σεβιανές AF, DC, EZ, διά του B => (FD/FE)(CE/CA)(ZA/ZD)=1 .
Πολλαπλασίασε τις εξισώσεις γιά να βρεις:
(DB/DC)²(EC/EA)²(FA/FB)² = 1.
Όμως το γινόμενο (DB/DC)(EC/EA)(FA/FB) δεν είναι -1, διότι διαφορετικά, κατά το θεώρημα του Ceva οι ευθείες AD, BE και CF θα συνέτρεχαν σε σημείο (ή θα ήταν παράλληλες). Άρα η σχέση αυτή συνεπάγεται (DB/DC)(EC/EA)(FA/FB) = 1.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
Θεώρημα Μενελάου από το θεώρημα Ceva ![[0_0]](MenelausFromCeva_files/MenelausFromCeva_0_0_0.png)
![[0_1]](MenelausFromCeva_files/MenelausFromCeva_0_0_1.png)
![[1_0]](MenelausFromCeva_files/MenelausFromCeva_0_1_0.png)
![[1_1]](MenelausFromCeva_files/MenelausFromCeva_0_1_1.png)