CirclesSimilar

1. Κύκλος ομοιότητας δύο κύκλων

Δοθέντων δύο κύκλων {c(O,r),c'(O',r')} και σημείου A (σχετικές θέσεις ως εις το σχήμα), θεώρησε το τρίγωνο των εφαπτομένων ABC. Αυτό είναι όμοιο του OO'A τότε και μόνον τότε όταν η BC διέρχεται διά της προβολής D του A στην διάκεντρο OO'.

Πράγματι, αν τα τρίγωνα {ABC,OO'A} είναι όμοια, τότε το τετράπλευρο CO'DA είναι κυκλικό, όπου D είναι η τομή των {OO',BC}.
Όμως η γωνία O'CA είναι ορθή, άρα η O'DA είναι επίσης ορθή γωνία.
Αντίστροφα, υποθέτωντας την συνθήκη, έπεται ότι το τετράπλευρο CO'DA είναι κυκλικό. Αυτό διότι στα σημεία C, D έχουμε ορθές γωνίες. Αυτό συνεπάγεται ότι οι γωνίες στα {O', C} είναι ίσες.
Τότε όμως και το τετράπλευρο ABOD είναι επίσης κυκλικό, άρα η γωνία ΒΑΟ είναι ίση με την BDO που είναι ίση με την CAO'. Αυτό συνεπάγεται ότι οι γωνίες στο A του τριγώνου ABO' και του AOO' είναι ίσες.

Παρατήρηση-1 Η συνθήκη αυτή περιορίζει τα σημεία Α τα οποία μπορούν να χρησιμεύσουν ως κέντρα ομοιότητας γιά ομοιότητες που απεικονίζουν τον ένα κύκλο στον άλλο. Τα σημεία Α θα πρέπει να περιέχονται σε κύκλο του Απολλώνιου (d) του ευθυγράμμου τμήματος OO'. Πράγματι, εάν το Α είναι κέντρο κάποιας ομοιότητας γιά τους δύο κύκλους {c,c'}, τότε η ομοιότητα των τριγώνων {ABO, ACO'} συνεπάγεται AO/AO' = r/r'. Έτσι το Α περιέχεται σε έναν Απολλώνιο κύκλο.
Παρατήρηση-2 Τα δύο κέντρα ομοθεσίας {Η₁, Η₂} των δύο κύκλων είναι αντιδιαμετρικά σημεία του κύκλου (d).
Παρατήρηση-3 Ανάλογες ιδιότητες ισχύουν και γιά τις άλλες σχετικές θέσεις των δύο κύκλων κατά τις οποίες αυτοί δεν είναι εξωτερικοί αλλήλων.
Ο κύκλος με διάμετρο H₁H₂ λέγεται κύκλος ομοιότητας των δύο κύκλων.

2. Ικανή και αναγκαία συνθήκη

Ένα σημείο Α ανήκει στον κύκλο ομοιότητας των δύο κύκλων τότε και μόνον, όταν φέρνοντας τις εφαπτόμενες από το Α {AC,AD} οι οποίες δεν διαχωρίζουν τα κέντρα, ευθεία των σημείων επαφής αποτέμνει επί των κύκλων ίσες χορδές (DD'=CC').

Η ισότητα των δύο τμημάτων ισοδυναμεί με την ισότητα των δυνάμεων των {C,D} ως προς τους κύκλους {k₂, k₁} αντίστοιχα. Η αναγκαιότητα προκύπτει από εύκολο υπολογισμό. Εάν s=r₂/r₁ συμβολίζει τον λόγο ομοιότητας, τότε:

Αυτό συνεπάγεται ότι οι προβολές {B',E'} των σημείων {B,E} στις ευθείες {AD,AC} αντίστοιχα, μαζί με τα σημεία {D,C} είναι κορυφές κυκλικού τετραπλεύρου. Άρα τα τρίγωνα CAB' και DAE' είναι όμοια, και λόγω των κυκλικών τετραπλεύρων {DAE'E, BB'AC} τα ορθογώνια τρίγωνα AEE' και ABB' είναι επίσης όμοια. Αυτό συνεπάγεται ότι AE/AB = r₂/r₁ άρα και ότι το A είναι στον κύκλο ομοιότητας των {k₁, k₂}.

3. Βλέποντας υπό ίσες γωνίες

Ο κύκλος ομοιότητας δύο κύκλων εξωτερικών αλλήλων ταυτίζεται με τον τόπο των σημείων Α που βλέπουν τους δύο κύκλους υπό ίσες γωνίες (δηλαδή οι εφαπτόμενες προς τους δύο κύκλους σχηματίζουν την ίδια γωνία στο Α).

Αυτό έπεται τετριμμένα φέρνοντας τις {AE, AB} και υπολογίζοντας τον λόγο τους συναρτήσει των ακτίνων.

Παρατήρηση Οι ιδιότητες που αναφέρονται εδώ χρησιμοιποιούνται στην απόδειξη του θεωρήματος του Malfatti, κατά μία ιδέα του Steiner, που ωστόσο άφησε το επιχείρημά του αναπόδεικτο, έως ότου το συμπληρώσει ο Hart. Μιά έκθεση αυτής της ιστορίας (ακολουθώντας πιστά αυτήν του Coolidge) μπορεί κανείς να δεί στο Θεώρημα του Malfatti ).

Δείτε ακόμη

Θεώρημα του Malfatti
Kέντρα ομοιοθεσίας 2/3 κύκλων

Βιβλιογραφία

Coolidge, J. L. A Treatise on the Geometry of the Circle and Sphere. New York, Chelsea, 1971, p. 28.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/