Similarity_Centers

1. Τα κέντρα ομοιοθεσίας δύο κύκλων

Δύο κύκλοι του επιπέδου {c, c'} με διαφορετικές ακτίνες {r,r'} είναι πάντοτε ομοιόθετοι. Τα κέντρα ομοιοθεσίας προκύπτουν ενώνοντας τα άκρα δύο παράλληλων ακτίνων, ομορρόπων ή αντιρρόπων και τέμνοντας με την προκύπτουσα ευθεία {e,e'} την διάκεντρο ΟΟ' των δύο κύκλων.

Θεωρώντας προσανατολισμένα τμήματα, το εξωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας Ε ικανοποιεί:
EO/EO' = r/r'.
Αντίστοιχα το εσωτερικό κέντρο ομοιοθεσίας ικανοποιεί:
E'O/E'O' = -(r/r').
Τα κέντρα των κύκλων και τα κέντρα ομοιοθεσίας αποτελούν συνεπώς αρμονική τετράδα και ικανοποιούν την
(Ο, O', E, E') = (ΕΟ/ΕΟ')/(Ε'Ο/Ε'Ο') = -1.
Συχνά η ομοιοθεσία (Ε', -r/r') αναφέρεται ως αντι-ομοιοθεσία με κέντρο E' και λόγο -r/r'.
H αντι-ομοιοθεσία είναι προφανώς σύνθεση της αντίστοιχης ομοιοθεσίας (E, r/r') και της συμμετρίας ως προς το κέντρο O.
Εάν οι δύο κύκλοι έχουν το ίδιο κέντρο τότε και τα κέντρα {Ε, Ε'} συμπίπτουν με το κοινό κέντρο των δύο κύκλων.

2. Οι κοινές εφαπτόμενες

Στην περίπτωση δύο εξωτερικών αλλήλων κύκλων οι τέσσαρες κοινές εφαπτόμενές τους διέρχονται ανά δύο από τα κέντρα ομοιοθεσίας τους.

Τούτο προκύπτει άμεσα φέρνοντας τις ακτίνες των δύο κύκλων στα αντίστοιχα σημεία επαφής μιάς κοινής εφαπτομένης. Οι δύο ακτίνες είναι παράλληλες κτλ..

3. Οι άξονες ομοιοθεσίας τριών κύκλων

Τα έξι κέντρα ομοιθεσίας τριών κύκλων, λαμβανομένων ανά δύο, περιέχονται σε τέσσερις ευθείες, από τρία σε κάθε ευθεία.

Το σχήμα δείχνει τον λόγο γιά τον οποίο ισχύει η ιδιότητα αυτή. Οι κορυφές του τριγώνου A₁A₂A₃ είναι τα κέντρα των τριών κύκλων. Δίπλα τους αναγράφονται οι ακτίνες. Τα κέντρα ομοιοθεσίας ανά δύο συμβολίζονται με το ίδιο γράμμα (X,X') είναι τα κέντρα ομοιοθεσίας των κύκλων (A₂, r₂) και (A₃, r₃). Ανάλογα τα (Y, Y') και (Z, Z') είναι κέντρα ομοιοθεσίας των άλλων ζευγών κύκλων.
Από τον ορισμό των κέντρων ομοιοθεσίας συνάγονται οι σχέσεις:
(XA₂/XA₃) = -(X'A₂/X'A₃) = r₂/r₃,
(YA₃/YA₁) = -(Y'A₃/Y'A₁) = r₃/r₁,
(ZA₁/ZA₂) = -(Z'A₁/Ζ'A₂) = r₁/r₂.
Έτσι γιά τα τρία σημεία {X, Z', Y'} στις πλευρές του τριγώνου A₁A₂A₃ έχουμε:
(XA₂/XA₃)(Z'A₁/Ζ'A₂)(Y'A₃/Y'A₁) = (r₂/r₃)(-r₁/r₂)(-r₃/r₁) = 1.
Άρα, κατά το θεώρημα του Μενελάου τα τρία σημεία είναι συνευθειακά. Ανάλογα αποδεικνύεται και η συγγραμμικότητα των άλλων σημείων.

Το επόμενο σχήμα συμπληρώνει το προηγούμενο φανερώνοντας όχι μόνο τα κέντρα των κύκλων και τα κέντρα ομοιοθεσίας τους αλλά και τους ίδιους τους κύκλους και τις κοινές εφαπτόμενές τους.

4. Η προβολική άποψη του σχήματος

Το βασικό σχήμα των έξι κέντρων ομοιοθεσίας τριών κύκλων δίνει μιά άλλη άποψη της τριγραμμικής πολικής L_D ενός σημείου D (δες Τριγραμμική πολική ).

Τα εσωτερικά κέντρα ομοιοθεσίας είναι τα ίχνη τριών σεβιανών {A₁X', A₂Y', A₃Z'} που τέμνονται σε σημείο D. Τούτο αποδεικνύεται αμέσως εφαρμόζοντας το θεώρημα του Ceva (δες Θεώρημα του Ceva ). H τριγραμμική πολική L_D του D συμπίπτει με την ευθεία που περιέχει τα εξωτερικά κέντρα ομοιοθεσίας {X,Y,Z}.
Ανάλογες ιδιότητες ισχύουν και γιά τους άλλους άξονες ομοιοθεσίας των τριών κύκλων.

5. Άλλες ιδιότητες

Έστωσαν δύο κύκλοι a(A, r), b(B, r') με κέντρα ομοιότητας C και D. Ισχύουν τα ακόλουθα.
[1] Γιά κάθε ευθεία CG τέμνουσα και τους δύο κύκλους, AH || BG, AJ || BI, και το EFIH είναι κυκλικό.
[2] Ένας κύκλος (e) ταυτόχρονα εφαπτόμενος των (a), (b), ως εις το σχήμα, έχει χορδή HI των σημείων επαφής διερχομένη δια του C.
[3] Οι κοινές εφαπτόμενες των κύκλων {b, e} στο I και {a, e} τέμνονται σε σημείο του ριζικού άξονα g των κύκλων {a, b}.
[4] Οι ευθείες HE και IF, καθώς και οι NI, MH τέμνονται επίσης επί του ριζικού άξονος g των κύκλων {a, b}.
[5] Η εφαπτόμενη CL στον περίκυκλο (c) του EFIH έχει σταθερό μήκος |CL|² = |CE||CF| = R².
[6] Ο κύκλος f(C, R) ορίζει μία αντιστροφή εναλλάσσουσα τους κύκλους a και b. Όλοι οι κύκλοι (c) είναι ορθογώνιοι στον (f).
[7] Ο κύκλος (e) είναι επίσης ορθογώνιος στον (f).
[8] Το αντίστροφο του σημείου P ως προς τον κύκλο (f) είναι το D.
[9] Ο κύκλος με διάμετρο CD, που είναι ο αντίστροφος ως προς τον (f) του ριζικού άξονα g, είναι ο γεωμετρικός τόπος (κύκλος του Απολλώνιου) των σημείων των οποίων οι αποστάσεις από τα A και B έχουν λόγο k = r/r'.

Τα [1,2] προκύπτουν από τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα που δημιουργούνται από την ευθεία CG που διέρχεται από το κέντρο ομοιοθεσίας C και τις προφανείς συγκρίσεις γωνιών.
Τα [3,4] είναι άμεσες συνέπειες του ορισμού του ριζικού άξονα.
Η αντιστροφή ως προς τον κύκλο (f) αφήνει τον κύκλο (c) αναλλοίωτο, άρα εναλλάσει τα σημεία {E,F}, συνεπώς R² = CE*CF. Ανάλογα και R² = CM*CN. Tούτο αποδεικνύει τα [5,6].
Τα [7,8] είναι συνέπειες των προηγουμένων. Το [9] είναι ιδιότητα του Απολλώνιου κύκλου (δες Απολλώνιοι κύκλοι ) να ορίζεται από την διάμετρό του CD.

Δείτε ακόμη

Απολλώνιοι κύκλοι
Θεώρημα του Ceva
Τριγραμμική πολική

Βιβλιογραφία

Altshiller-Court, Nathan College Geometry: A Second Course in Plane Geometry for Colleges and Normal Schools, 2nd Ed.. New York, Barnes and Noble, 1952, pp. 184-190.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/