[alogo] Γύρω από το περίκεντρο

Δοθέντος τριγώνου t = ABC, το περίκεντρό του O είναι το σημείο τομής των μεσοκαθέτων OJ, OD, OF των πλευρών του BC, CA και AB αντίστοιχα. Υπάρχουν μερικές ενδιαφέρουσες σχέσεις μεταξύ των μεσοκαθέτων και των συμμετροδιαμέσων, που οδηγούν σε κάποιες απλές κατασκευές των συμμετροδιαμέσων του τριγώνου t. Τούτο αναλύεται παρακάτω.

[0_0] [0_1]
[1_0] [1_1]


Δοθέντος του τριγώνου t = ABC, θεώρησε τα σημεία τομής G, H των μεσοκαθέτων FO, DO στις πλευρές AC, AB αντίστοιχα.
1) Το q = BCGH είναι κυκλικό τετράπλευρο (γωνία(HCG) = γωνία(HBG) = γωνία(A)).
2) Ο περίκυκλος c του q διέρχεται από το περίκεντρο O του τριγώνου t.
3) Ο περίκυκλος d του AFD και ο c τέμνονται στα σημεία O και E, έτσι ώστε τα A, E, I να είναι επί ευθείας. Το I όντας το σημείον τομής της μεσοκαθέτου του BC και του c, διαμετρικού του O (ορθογωνιότητα του OE στην ευθεία AE).
4) γωνία(A) = γωνία(BGI) = γωνία(BHI) = γωνία(BEI) = γωνία(IEC) = γωνία(IGC) και το p = AHIG είναι παραλληλόγραμμο.
5) Η HG διχοτομεί την AI στο M, άρα η AI είναι συμμετροδιάμεσος ως προς A (δες το Antiparallels.html ).
6) Η γωνία(FAE) = γωνία(FOE) = γωνία(GCE) και επειδή, η ΑΙ συμμετροδιάμεσος, γωνία(JAC) = γωνία(FAE) και το τρίγωνο ANC είναι ισοσκελές και το N περιέχεται στην μεσοκάθετο της AC.
7) Παρόμοια το APB είναι ισοσκελές και το P περιέχεται στην μεσοκάθετο του AB. Άρα το E είναι επίσης σημείον τομής των πλευρών BP και CN των ισοσκελών τριγώνων ABP, ACN, οριζομένων από την διάμεσο AJ.
8) Η γωνία(IBC) = γωνία(ICB) = γωνία(A) οδηγεί σε μιά εύκολη κατασκευή της συμμετροδιαμέσου AI.
9) Η γωνία(BAE) = γωνία(ECA), γωνία(ABE) = γωνία(EAC) δείχνει ότι τα ABE και CAE είναι όμοια τρίγωνα.

Δες το έγγραφο ParabolaSkew.html γιά μιά εφαρμογή αυτών των παρατηρήσεων στο θέμα προσδιορισμού της εστίας μιάς παραβολής.

Produced with EucliDraw©