ParabolaSkew

Παραβολή οριζόμενη σε πλάγιους άξονες

Θεώρησε γωνία s = ABC και τις ευθείες που ορίζονται από τις πλευρές της. Πάρε τα σημεία σε αυτές της ευθείες: X στην BA και Y στην BC έτσι ώστε BX = |BA|x, BY = a*|BC|(x²) . Κατασκεύασε το παραλληλόγραμμο p = XBYP και δείξε ότι το σημείο P κινήται, γιά μεταβαλόμενο x, σε μιά παραβολή c. Προσδιόρισε την εστία (F) και την διευθετούσα (d) της c.
Δείξε ότι η παράμετρος p της παραβολής (απόσταση |FF'| εστίας από διευθετούσα) ισούται με (|BA|*sin(w))²/(2*a*|BC|).

[1] Δοθείσης της γωνίας ABC, η BA γίνεται εφαπτόμενη της παραβολής και η BC παράλληλος του άξονά της.
[2] Έτσι ο άξων της παραβολής είναι παράλληλος της BC.
[3] Θεώρησε σημείο X, το αντίστοιχο Y και το P, οριζόμενο από το παραλληλόγραμμο XBYP.
[4] Το Q είναι συμμετρικό του Ρ ως προς Y και περιέχεται επίσης στην παραβολή.
[5] Επιπλέον, το Z που είναι το συμμετρικό του Y ως προς το B, είναι και το σημείο τομής των εφαπτομένων της παραβολής στα σημεία P και Q. Έτσι οι ZP, ZQ είναι εφαπτόμενες στα Ρ και Q.
[6] Η εστία F ευρίσκεται ως σημείο τομής των συμμετρικών FP, FQ ως προς τις ZP και ZQ, των παραλλήλων της BY από τα P και Q αντιστοίχως.
[7] Παίρνοντας QS = QF στην παράλληλο της BY από το Q ορίζουμε σημείο S επί της διευθετούσης.
[8] Σημείωσε επίσης ότι η ZF είναι η [συμμετροδιάμεσος] από το Z του τριγώνου ZPQ και διχοτομεί την γωνία QFP, είναι μέτρου διπλασίου αυτού της γωνίας QZP.
[9] Επίσης τα τρίγωνα QFZ και ZFP είναι όμοια. Το τελευταίο συνεπάγεται ότι (ZF)² = (QF)*(PF).
[10] Οι ιδιότητες αυτές του σημείου F το ταυτίζουν με μία κορυφή του δευτέρου τριγώνου Brocard, και την ίδια την παραβολή με μιά παραβολή Artzt του τριγώνου ZPQ. Οι ιδιόητες αυτές της παραβολής που σχετίζονται με το τρίγωνο ZPQ, εξετάζονται επίσης στο ParabolaChords.html .
[11] Γιά την εύρεση της παραμέτρου p της παραβολής, βρες πρώτα το σημείο X' έτσι ώστε |BX'| = 2*|BY'|, δείξε ότι η FY' είναι παράλληλος της BX' και υπολόγισε την |FF'| βάσει των δεδομένων.
[12] Θεώρησε την ομοιοθεσία με κέντρο Z και λόγο 1/2 και εφάρμοσέ την στο τρίγωνο ZPQ γιά να πάρεις τον περίκυκλο του τριγώνου ZIJ και την απόδειξη της ιδιότητας:
Οι περίκυκλοι τριγώνων των οποίων οι πλευρές εφάπτονται παραβολής διέρχονται από την εστία της παραβολής.

Δείτε ακόμη

Παραβολή
ParabolaChords.html

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/