[0] Οι κύκλοι που διέρχονται από τις κορυφές A, B του τριγώνου ABC και ενός τρίτου αυθαιρέτου σημείου D, τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου σε σημεία J και H, έτσι ώστε η ευθεία JH είναι πάντα παράλληλη προς την εφαπτόμενη του περιγεγραμμένου κύκλου στην άλλη κορυφή C του τριγώνου (Η JH λέγεται αντιπαράλληλος της AB).
[1] Τα μέσα (Μ) των αντιπαραλλήλων JH περιέχονται σε ευθεία CK που λέγεται συμμετροδιάμεσος του τριγώνου ως προς την κορυφή C.
[2] Η εφαπτόμενη στο C, η συμμετροδιάμεσος και οι δύο πλευρές της C αποτελούν μιάν αρμονική δέσμη. Κάθε ευθεία που τέμνει τις προηγούμενες τέσσερις ευθείες χωρίζεται από τα σημεία τομής της σε τμήματα ευρισκόμενα σε αρμονικό λόγο.
[3] Μιά ειδική αντιπαράλληλος είναι η ευθεία PQ η συνδέουσα τους πόδες των υψών από τα {A,B}.
[4] Μετατοπίζοντας το M στο σημείο τομής L της συμμετροδιαμέσου με την εφαπτόμενη στο A, βλέπουμε ότι η άλλη εφαπτόμενη, στο B, περνά επίσης από το L. Άρα το συμμετροδιάμεσο-σημείο του ABC (που είναι το σημείο τομής των τριών συμμετροδιαμέσων ( δες το Συμμετροδιάμεσος Ι ) είναι το σημείον του Gergonne του εφαπτομενικού τριγώνου.
[5] Μετατοπίζοντας το M στην θέση όπου, AB = JH (το F επί του περιγεγραμμένου), βλέπουμε ότι η συμμετροδιάμεσος είναι η συμμετρική της διαμέσου από το C, ως προς την διχοτόμο στο C.
Δείτε το αρχείο Συμμετροδιάμεσος ΙΙ γιά μιά λεπτομερέστερη εξέταση της συμμετροδιαμέσου ευθείας. Το αρχείο Αντιπαράλληλος υπερβολή περιέχει την εξέταση του γεωμετρικού τόπου των σημείων τομής των ευθειών AH, BJ, που είναι μιά ορθογώνια υπερβολή διερχόμενη από τις κορυφές του τριγώνου.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
Αντιπαράλληλοι ![[0_0]](Antiparallels_files/Antiparallels_0_0_0.png)
![[1_0]](Antiparallels_files/Antiparallels_0_1_0.png)