CircumscriptibleQuadrilateral

Περιγράψιμο τετράπλευρο

Ξεκινάμε με μιάν ιδιότητα τριγώνων: t = (AEC) και t' = (CFG), εχόντων δύο ίσες γωνίες (στο C) και δύο άλλες γωνίες (στα E και F αντιστοίχως) παραπληρωματικές. Τοποθετόντας τα όπως στο σχήμα, έχουμε: (AC/AE) = (CB/EB) = (CG/FG) = > (AC/CG) = (AE/FG). Που είναι σαν να είχαν ίσες γωνίες στα E και F.
Τούτο αποδεικνύει την επόμενη βασική ιδιότητα των περιγραψίμων τετραπλεύρων (ιδέα απόδειξης του A. Βαρβεράκη).

Σε περιγράψιμο σε κύκλο τετράπλευρο οι διαγώνιοι και οι ενούσες απέναντι σημεία επαφής συντρέχουν σε κοινό σημείο O.
Πράγματι τα τρίγωνα (COH) και (GOD) έχουν ίσες γωνίες στο O και παραπληρωματικές στα C και D αντιστοίχως. Έτσι (CH/GD) = (OH/OG). Ανάλογες ισότητες ισχύουν και για τα HE και FG. Έτσι, επειδή CH = HE και GD = GF, οι CD και EF θα συντρέχουν σε σημείον της διαγωνίου HG. Ο ίδιος συλλογισμός δείχνει ότι οι CD και EF θα συντρέχουν σε σημείον της διαγωνίου IJ, άρα οι δύο ευθείες θα συντρέχουν σε σημείο κείμενο και στις δύο διαγώνιους, άρα στο σημείον τομής τους Ο.
The proof can also be given by specializing Brianchon's theorem, demonstrated in Brianchon2.html .

Για μιάν άλλη ενδιαφέρουσα ιδιότητα των περιγραψίμων τετραπλεύρων δες το: CircumscriptibleQuadrilateral2.html .

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/