ClosedPolygonalLines

1. Κλειστές πολυγωνικές γραμμές στον κύκλο

Έστω κύκλος (c) και ένα περιττό πλήθος (k) ευθειών σε γενική θέση. Αριθμήστε τις ευθείες με 1, 2, ... , k (k περιττό).
Αρχίστε από αυθαίρετο σημείο G του κύκλου και κατασκευάστε πολυγωνική γραμμή με 2k κορυφές επί του κύκλου:
G --->1' --->2'--->3'---> .... --->k'--->1''--->2''---> ... --->k''=G.
Όπου (1') είναι το άλλο σημείο τομής του c με την παράλληλο από το G προς την ευθεία (1). Κατόπιν (2') είναι το άλλο σημείο τομής του c με την παράλληλο από το (1') προς την ευθεία (2), (3') είναι το άλλο σημείο τομής του c με την παράλληλο από το (2') προς την ευθεία (3) κτλ.
Ισχύει ότι παίρνοντας δύο φορές τις παράλληλες επιστρέφετε πίσω στο αρχικό σημείο G.

Η απόδειξη είναι πολύ απλή. Κάθε σημείο (π.χ. το 1') συνδέεται με το προηγούμενο (π.χ. το G') με μιά ανάκλαση ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο O του κύκλου και είναι ορθογώνιος στην αντίστοιχο παράλληλο (π.χ. την 1). Έτσι τα διάφορα σημεία της πολυγωνικής γραμμής είναι διαδοχικές εικόνες των ανακλάσεων αυτών : r₁, r₂, ..., r_k, γιά τις πρώτες k κορυφές:
1' = r₁(G'), 2' = r₂(1'), ..., k' = r_k((k-1)') , δηλ. k' = f(G'), όπου f = r₁*...*r_k είναι η σύνθεση ενός περιττού αριθμού ανακλάσεων των οποίων οι άξονες περνούν από το Ο. Όμως μιά τέτοια σύνθεση είναι πάντοτε μιά ανάκλαση και κατά συνέπεια f(f(G')) = G'. Η διαδικασία παραγωγής του σημείου f(f(G')) παράγει τις 2k κορυφές της πολυγωνικής γραμμής.
Δείτε κάτι ανάλογο που ισχύει γιά ελλείψεις στο αρχείο: Πολυγωνικές γραμμές σε κωνική .

2. H περίπτωση αρτίου πλήθους ευθειών

H ίδια διαδικασία στην περίπτωση που το k είναι άρτιος παράγει ένα μή κλειστό πολύγωνο. Η διαφορά έγκειται στο ότι η αντίστοιχη f = r₁*...*r_k, ως σύνθεση αρτίου πλήθους ανακλάσεων, στην περίπτωση αυτή είναι μία στροφή.

To γεγονός αυτό αντανακλάται στα τόξα που ορίζονται διαδοχικά ξεκινώντας από το G. Στο προηγούμενο παράδειγμα τα τόξα G4', 4'4'', ...κτλ. είναι ίσα μεταξύ τους. Συνεχίζοντας επ' άπειρον το πολύγωνο ή θα κλείνει μετά από πεπερασμένα βήματα ορίζοντας με τις κορυφές του {G, 4', 4'', ...} ένα κανονικό πολύγωνο ή τα σημεία αυτά θα δημιουργήσουν ένα πυκνό υποσύνολο του κύκλου. Αυτό εξαρτάται από τις γωνίες {ω₁₂, ω₃₄} που καθορίζουν την επίκεντρο γωνία(G4'4'') = 2(π-ω₁₂)+2(π_ω₃₄) = 4π-(ω₁₂+ω₃₄).
Συνεπώς γιά να ορίζεται κανονικό πολύγωνο θα πρέπει το άθροισμα (ω₁₂+ω₃₄) να είναι ρητό πολλαπλάσιο του π.
Σημείωσε ότι στον τύπο δεν εμφανίζονται οι άλλες γωνίες όπως η ω₂₃. Αλλάζοντας αυτήν την γωνία (κρατώντας όμως σταθερές τις ω₁₂, ω₃₄) ευρίσκουμε τα ίδια σημεία {G, 4', 4'', ...}.
Γενικώτερα γιά οποιοδήποτε άρτιο k το αν το αντίστοιχο πολύγωνο {G, k', k'', ...} θα είναι κανονικό εξαρτάται από το αν η γωνία Ω = (ω₁₂ + ω₃₄ + ... ω_k-1,k) είναι ρητό πολλαπλάσιο του π.

Δείτε ακόμη

Πολυγωνικές γραμμές σε κωνική

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/