ClosedPolygonalLines

1. Κλειστές πολυγωνικές γραμμές στην έλλειψη

Έστω έλλειψη (c) και ένα περιττό πλήθος (k) ευθειών σε γενική θέση. Αριθμήστε τις ευθείες με 1, 2, ... , k (k περιττό).
Αρχίστε από αυθαίρετο σημείο G της έλλειψης και κατασκευάστε πολυγωνική γραμμή με 2k κορυφές επί της έλλειψης:
G --->1' --->2'--->3'---> .... --->k'--->1''--->2''---> ... --->k''=G.
Όπου (1') είναι το άλλο σημείο τομής της c με την παράλληλο από το G προς την ευθεία (1). Κατόπιν (2') είναι το άλλο σημείο τομής της c με την παράλληλο από το (1') προς την ευθεία (2), (3') είναι το άλλο σημείο τομής της c με την παράλληλο από το (2') προς την ευθεία (3) κτλ.
Ισχύει ότι παίρνοντας δύο φορές τις παράλληλες επιστρέφετε πίσω στο αρχικό σημείο G.

Φαίνεται περίπλοκο, ωστόσο έχει απλή απόδειξη. Πάρτε έναν συσχετισμένο μετασχηματισμό F που μετασχηματίζει την έλλειψη σε κύκλο. Οι μετασχηματισμοί αυτοί σέβονται την παραλληλία και το πρόβλημα ανάγεται σ' ένα αντίστοιχο γιά τον κύκλο.
Η ειδική περίπτωση του κύκλου εξετάζεται στο αρχείο: Πολυγωνικές γραμμές στον κύκλο .

2. H περίπτωση αρτίου πλήθους ευθειών

H ίδια διαδικασία στην περίπτωση που το k είναι άρτιος παράγει ένα μή κλειστό πολύγωνο. Το ενδιαφέρον σε αυτήν την περίπτωση είναι ότι προκύπτει μιά πολυγωνική γραμμή εγγεγραμμένη στην έλλειψη p = G4'4''4'''... της οποίας οι πλευρές είναι εφαπτόμενες μιάς δεύτερης κωνικής c₀ ομοιόθετης της αρχικής c. Μάλιστα η c₀ δεν εξαρτάται από την θέση του αρχικού σημείου G της πολυγωνικής γραμμής.

Επίσης, σύμφωνα με το θεώρημα του Poncelet, δεν εξαρτάται από την αρχική θέση του G το αν η πολυγωνική αυτή γραμμή θα είναι κλειστή ή όχι. Αν γιά μιά θέση του G η γραμμή είναι κλειστή τότε θα είναι γιά κάθε θέση του G επί της c.

Δείτε ακόμη

Πολυγωνικές γραμμές στον κύκλο
Θεώρημα του Poncelet

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/