CoordinatesTransform2

Μετασχηματισμός συντεταγμένων II

Δίδονται δύο συστήματα (πλαγιογωνίων) συντεταγμένων με κοινή αρχή: {OX, OY} και {OX', OY'}. Οι συντεταγμένες ως προς κάθε σύστημα προκύπτουν προβάλλοντας το τυχόν σημείο Ρ παράλληλα προς τους άξονες:
(i) Το (OX,OY) σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο το P ταυτίζεται με το (x,y).
(ii) Το (OX',OY') σύστημα συντεταγμένων, στο οποίο το P ταυτίζεται με το (x',y').
Προεκτέινοντας τις ευθείες PP_x, PP_y μέχρι να τμήσουν τις {OX',OY'} και φέρνοντας παράλληλες από αυτά τα σημεία προς τις {OY',OX'} οι οποίες τέμνονται στο P', πέρνουμε έναν μετασχηματισμό P'=F(P).
Να μελετηθούν οι σχέσεις μεταξύ των δύο συστημάτων, καθώς και οι ιδιότητες του μετασχηματισμού F.

[1] Γιά την εύρεση της σχέσης των δύο συστημάτων εφαρμόζουμε τον κανόνα του ημιτόνου στα δύο τρίγωνα με πλευρές αντίστοιχα {x,x'} και {y,y'}:

Τα (x'',y'') είναι οι συντεταγμένες του P' στο (OX',OY') σύστημα. Λύνοντας ως προς (x',y') παίρνουμε το σύστημα εξισώσεων:

Εδώ θέσαμε A=sin(OX',OY'), B=sin(OX,OY') και C=sin(OX',OY). Η σχέση μεταξύ των (x'', y'') και (x,y) δίδεται από τις εξισώσεις:

Όπου D=sin(OX,OY). Αυτή, αντιστρέφοντας τον πίνακα οδηγεί στην έκφραση των (x'',y'') συναρτήσει των (x',y'):

Παρατηρήσεις
[1] Υπάρχουν δύο (κίτρινες) ευθείες διά του O, που είναι ταυτόχρονα αρμονικές συζυγείς ως προς τα ζεύγη ευθειών {OX, OY} και {OX', OY'}. Αυτές αντιστοιχούν σε ιδιοδιανύσματα του πίνακα που παριστάνει την F και χαρακτηρίζονται από την ιδιότητα της ευθείας PP' να περνά από το O, δηλαδή να είναι αναλλοίωτη ως προς F.
[2] Τα δύο συστήματα συντεταγμένων είναι ισοδύναμα. Γιά μιά παραλλαγή του θέματος, κατά την οποία το ένα από τα συστήματα, λ.χ. το {OX,OY}, παίζει έναν ιδιαίτερο ρόλο δείτε το αρχείο Μετασχηματισμός συντεταγμένων .
[3] Αυτός ο ειδικός μετασχηματισμός του (x,y) στο (x',y') μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην μελέτη του γενικώτατου μετασχηματισμού συσχετισμένων συντεταγμένων. Πράγματι, δοθέντων δύο τέτοιων συστημάτων συντεταγμένων με διαφορετικές αρχές O και O', η μεταφορά κατά O'O ανάγει τα δύο συστήματα σε δύο άλλα του τύπου που μελετήσαμε εδώ, και χαρακτηρίζονται από το ότι έχουν κοινή αρχή στο O.

Δείτε ακόμη

Μετασχηματισμός συντεταγμένων

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/