CoordinatesTransform

Μετασχηματισμός συντεταγμένων

Δίδεται ένα σύστημα δύο τεμνομένων ευθειών {OX, OY} και δύο κατευθύνσεων {a, b}.
Ορίζεται ένα σύστημα συντεταγμένων προβάλλοντας κάθε σημείο P επί των ευθειών {OX, OY} σε σημεία {P_x, P_y}, έτσι ώστε οι ευθείες {PP_x, PP_y} να είναι αντίστοιχα παράλληλες προς τις {a,b}.

Φέρε επίσης από τα σημεία {P_x, P_y} παράλληλες αντίστοιχα προς τις {OY, OX} τεμνόμενες στο σημείο P'. Μετρώντας τις θέσεις των {P_x, P_y} στους άξονες με ζεύγη αριθμών (x,y) ορίζει:
(1) το [a,b]-συσχετισμένο σύστημα συντεταγμένων, ως προς το οποίο το P ταυτίζεται με το (x,y).
(2) το παράλληλο (προς τους άξονες) σύστημα συντεταγμένων, ως προς το οποίο το P' ταυτίζεται με το (x,y).
Να μελετηθούν οι σχέσεις μεταξύ των δύο συστημάτων συντεταγμένων καθώς επίσης και ο μετασχηματισμός F που απεικονίζει το P στο P'.

[1] Γιά την εύρεση των σχέσεων μεταξύ των δύο συστημάτων συντεταγμένων εφαρμόζουμε το θεώρημα του ημιτόνου στα τρίγωνα με πλευρές {PP_x, y'} και {PP_y, x'} αντίστοιχα:

Αυτές, βάζοντας b_y=sin(b,OY), b_x=sin(b,OX), a_x=sin(a,OX) και a_y=sin(a,OY) οδηγούν στις επόμενες γραμμικές σχέσεις μεταξύ των συντεταγμένων:

Στις εξισώσεις αυτές θέσαμε A = a_y/a_x and B = b_x/b_y. Το ζεύγος (x,y) εκφράσεις τις [a,b]-συσχετισμένες συντεταγμένες και το (x',y') εκφράζει τις παράλληλες συντεταγμένες του (ιδίου) σημείου P.
[2] Ο μετασχηματισμός P'=F(P), εκπεφρασμένος στις παράλληλες συντεταγμένες (x',y'), έχει την ίδια με την προηγούμενη παράσταση, αφού οι συντεταγμένες (x'',y'') του P' είναι οι ίδιες (x,y) με αυτές του P στο [a,b]-συσχετισμένο σύστημα, οι οποίες συνδέονται με τις συντεταγμένες (x',y') του P μέσω του προηγουμένου τύπου. Συνεπώς η F στο παράλληλο σύστημα συντεταγμένων εκφράζεται με τους τύπους:

Αυτό δείχνει ότι η F(P)=P' είναι μιά συσχετισμένη απεικόνιση με σταθερό σημείο O. Συνεπώς απεικονίζει ευθείες επί ευθειών. Η προηγούμενη εικόνα δείχνει τον τρόπο προσδιορισμού της εικόνας e'=F(e) μιάς ευθείας μέσω αυτής της απεικόνισης: (1) Φέρε παραλλήλους προς τις {a,b} από το O και βρες τις τομές τους {a_e,b_e} με την ευθεία e. (2) Φέρε παραλλήλους προς τις {b,a} από τα {a_e,b_e} και βρες τις τομές τους {e_y,e_x} με τις ευθείες {OY,OX} αντίστοιχα. Η ευθεία e' περνά από τα e_x, e_y.

Παρατηρήσεις
[1] Υπάρχουν δύο (κίτρινες) ευθείες διά του O, που είναι ταυτόχρονα αρμονικά συζυγείς ως προς τα ζεύγη ευθειών {OX, OY} και {Ob_e, Oa_e}. Οι ευθείες αυτές αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές του πίνακα που παριστάνει την F και χαρακτηρίζονται από το ότι η ευθεία PP' διέρχεται διά του O, δηλαδή είναι αναλλοίωτη ως προς F.
[2] Γενικώτερα οι ευθείες PP' περιβάλλουν μιά παραβολή. Αυτό έπεται από γενική ιδιότητα της προβολικής γεωμετρίας σύμφωνα με την οποία η περιβάλλουσα ευθειών που ενώνουν σημεία δύο ευθειών που εξαρτώνται μέσω μιάς ομογραφικής σχέσης είναι μία κωνική (δες Chasles-Steiner περιβάλλουσα ). Το γεγονός ότι η κωνική είναι παραβολή οφείλεται στο ότι η απεικόνιση F είναι συσχετισμένος μετασχηματισμός (δες Παραβολή παραγόμενη από μετασχηματισμό ). Μπορεί όμως να δειχθεί και άμεσα διαπιστώνοντας ότι η κωνική έχει ένα μόνον σημείο στο άπειρο.
[3] Στην προηγούμενη συζήτηση υπάρχει σαφώς μιά προτίμηση στην χρήση των αξόνων συντεταγμένων {OX,OY}. Θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει δύο συστήματα παραλλήλων συντεταγμένων και να προεκτείνει τις ευθείες {PP_x, PP_y} μέχρι να τμήσουν τους άξονες {Ob_e, Oa_e} και να κάνει την ίδια διερεύνηση τώρα πλέον μεταξύ δύο συστημάτων παραλλήλων συντεταγμένων. Αυτό γίνεται στο αρχείο Μετασχηματισμός συντεταγμένων ΙΙ .

Δείτε ακόμη

Chasles-Steiner περιβάλλουσα
Παραβολή παραγόμενη από μετασχηματισμό
Μετασχηματισμός συντεταγμένων ΙΙ

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/