Euler

1. Ευθεία του Euler

Το περίκεντρο Ο, το κέντρο βάρους G και το ορθόκεντρο H τριγώνου περιέχονται σε ευθεία και ισχύει HG = 2GO.

Γιά την απόδειξη ένωσε το περίκεντρο Ο με το κέντρο βάρους G (σημείο τομής διαμέσων) και όρισε το Η προεκτείνοντας κατά το διπλάσιο GH=2OG. Αν ΑΑ' διάμεσος, τα τρίγωνα που σχηματίζονται GHA και GOA' είναι όμοια με λόγο ομοιότητας 2, αφού το κέντρο βάρους χωρίζει κάθε διάμεσο σε λόγο 2:1.
Άρα η ΑΗ ως παράλληλος της ΟΑ' είναι κάθετος στην BC. Το Η λοιπόν είναι επί του ύψους προς την BC. Ανάλογα σκεπτόμενοι και με τις άλλες διαμέσους προκύπτει ότι το Η είναι επί όλων των υψών, άρα συμπίπτει με το ορθόκεντρο.
Πόρισμα Το ΑΗ είναι διπλάσιο του ΟΑ' και το ΗG διπλάσιο του GO.

2. Ο κύκλος του Euler (κύκλος των 9 σημείων)

Ο κύκλος που διέρχεται από τα μέσα {A',B',C'} των πλευρών τριγώνου ABC διέρχεται και από τους πόδες των υψών {A'',B'',C''} και τα μέσα {A*,B*,C*} των τμημάτων {HA,HB,HC} των υψών από το ορθόκεντρο ως την αντίστοιχη κορυφή.

Από το προηγούμενο πόρισμα το Α*ΗΑ'Ο είναι παραλληλόγραμμο. Το σημείο τομής των διαγωνίων του είναι το μέσον Q της ΟΗ και η διαγώνιος Α'Α* είναι παράλληλη και ίση προς την ακτίνα ΟΑ του περικύκλου. Συνεπώς τα σημεία {Α*,Α'',Α'} είναι στον κύκλο με κέντρο Q και διάμετρο ίση με την ακτίνα του περικύκλου. Το ίδιο θα ισχύει και γιά τις ανάλογες τριάδες σημείων {B*,B'',B'} και {C*,C'',C'}.
Πόρισμα-1 Το κέντρο του κύκλου του Euler είναι στο μέσον της ευθείας Euler ΗΟ και η ακτίνα του είναι το μισό της ακτίνας του περικύκλου.
Πόρισμα-2 O κύκλος του Euler είναι ομοιόθετος του περικύκλου με κέντρο ομοιοθεσίας το ορθόκεντρο Η και λόγο ομοιοθεσίας 1/2.
Αυτό προκύπτει από την παραλληλία των ακτίνων των δύο κύκλων: QA* = OA/2.
Πόρισμα-3 Οι ευθείες ΟΑ και ΗΑ' τέμνονται επί του περικύκλου.
Αυτό είναι συνέπεια της ομοιοθεσίας των δύο κύκλων ως προς Η.
Πόρισμα-4 To ύψος ΑΑ'' τέμνει ξανά τον περίκυκλο σε σημείο Η_Α και το μέσον της ΗΗ_Α είναι το Α''.
Και αυτό είναι συνέπεια της ομοιοθεσίας των δύο κύκλων.

3. Σχόλια

[1] Ο κύκλος του Εuler εμφανίζεται σε διάφορα άλλα ζητήματα της γεωμετρίας του τριγώνου. Μιά ιδιότητά του λ.χ. είναι ότι εφάπτεται των τριών τρισεφαπτομένων κύκλων του τριγώνου (εγγεγραμμένου και τριών παρεγγεγραμμένων). Αυτό είναι το θεώρημα του Feuerbach, που εξετάζεται στο Θεώρημα του Feuerbach .
[2] O κύκλος του Euler είναι ειδική περίπτωση της κωνικής εννέα σημείων που διέρχεται από τα έξι μέσα πλευρών ενός πλήρους τετραπλεύρου (δες Κωνική των εννέα σημείων ). Η ειδική περίπτωση λαμβάνεται όταν οι κορυφές του τετραπλεύρου αποτελούν μιάν ορθοκεντρική τετράδα, δηλαδή κάθε τρία από τα τέσσαρα σχηματίζουν τρίγωνο που έχει το τέταρτο σημείο ως ορθόκεντρο.

Δείτε ακόμη

Θεώρημα του Feuerbach
Κωνική των εννέα σημείων

Βιβλιογραφία

Altshiller-Court, Nathan College Geometry: A Second Course in Plane Geometry, 2nd Ed.. New York, Barnes and Noble, 1952, pp. 101-123.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/