Feuerbach

Θεώρημα του Feuerbach

Ο κύκλος των εννέα σημείων (του Euler) τριγώνου ABC εφάπτεται των τριών τρισεφαπτομένων κύκλων του τριγώνου.

Η απόδειξη που υποδεικνύει το σχήμα παρακάτω στηρίζεται στο ότι η αντιστροφή μέ κύκλο αντιστροφής τον κύκλο με διάμετρο ΚL (προβολές των παρεγγεγραμμένων κέντρων Ι, J στην BC), εναλλάσσει τον κύκλο Euler και την ευθεία Β*C*, που είναι η συμμετρική της ΒC ως προς την ΙJ.
Τούτο αποδεικνύεται υπολογίζοντας τα γινόμενα A'C'*A'C'' = A'B'*A'B'' = A'K² (όπου {Α',Β',C'} τα μέσα των πλευρών) .

Επειδή η B*C* εφάπτεται των δύο τρισεφαπτομένων κύκλων με κέντρα Ι και J, οι οποίοι κύκλοι παραμένουν σταθεροί κατά την εν λόγω αντιστροφή, και η εικόνα μέσω της αντιστροφής της B*C*, που είναι ο κύκλος του Euler, θα εφάπτεται και αυτός των δύο εν λόγω κύκλων.

Δείτε ακόμη

Euler.html
Αντιστροφή

Βιβλιογραφία

Audin, Michele Geometry Berlin, Springer, 2002, p. 110.
Altshiller-Court, Nathan College Geometry: A Second Course in Plane Geometry, 2nd Ed.. New York, Barnes and Noble, 1952, p. 105
Lalesco, Trajan. La Geometrie du Triangle. Paris, Jacques Gabay, 1987, p. 19.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/