[alogo] Μιγαδικός διπλός λόγος (ABCD) = (( A-C)/(B-C))/((A-D)/(B-D))

Μιγαδικός διπλός λόγος (ABCD) = ((A-C)/(B-C))/((A-D)/(B-D)).
1) Το (ABCD) είναι πραγματικός αριθμός όταν τα σημεία περιέχονται σε ευθεία ή κύκλο.
2) Υποθέτοντας ότι τα σημεία περιέχονται σε κωνική (έλλειψη), φέρε τις εφαπτόμενες σε αυτά τα σημεία. Έστωσαν A*, B*, C*, D* τα αντίστοιχα σημεία τομής αυτών των εφαπτομένων με μιά πέμπτη εφαπτόμενη e της κωνικής. Όρισε τον μιγαδικό αριθμό cr = (A*B*C*D*).

Υπολόγισε το cr, χρησιμοποιόντας το εργαλείο χρήστη [ComplexCrossRatio], που περιέχεται στο αρχείο-σκριπτ [EUC_Scripts\EUC_User_Tools\ComplexCrossRatio.txt]. Ο διπλός λόγος είναι πραγματικός, άρα το σημείο που τον παριστά, περιέχεται στον πραγματικό άξονα. Το (cr) παραμένει αναλλοίωτο στον x-άξονα (σταθερό), καθώς το P κινήται επί της ελλείψεως.
(επίλεξε το εργαλείο επιλογής-στο-σύνορο (CTRL+2), πιάσε και μετάβαλλε τα σημεία P, A, B, C, D).

Μιά εικόνα ενός παρόμοιου λόγου, σχετιζόμενη με κωνικές , δίδεται στο αρχείο: Complex_Cross_Ratio2.html .

[0_0] [0_1] [0_2]


Μέσω της πολικότητας, ως προς κωνική, ευθείες αντιστοιχούν σε σημεία και σημεία σε ευθείες, διπλός λόγος τεσσάρων σημείων επ' ευθείας αντιστοιχεί σε ίσο διπλό λόγο τεσσάρων ευθειών, διερχομένων διά σημείου. Ειδικά, οι εφαπτόμενες AA*, BB*,... κτλ. απεικονίζονται στα σημεία A, B, ... κτλ. ενώ τα σημεία A*, B*, ... απεικονίζονται στις τέσσερις ευθείες (μη σχεδιαζόμενες) AP, BP, ... κτλ. Έτσι, ο διπλός λόγος (A*B*C*D*) μετασχηματίζεται στον (ίσο) διπλό λόγο των τεσσάρων ευθειών AP, BP, ... κτλ. Τούτος, πάλι, είναι ανεξάρτητος της θέσης του σημείου Ρ της κωνικής.
Μιά ενδιαφέρουσα εφαρμογή αυτής της παρατήρησης περιέχεται στον αρχείο ParabolaProperty.html .

Produced with EucliDraw©