ParabolaProperty

Μιά ιδιότητα των παραβολών

Για παραβολές, τα ευθύγραμμα τμήματα που αποτέμνονται από τρείς σταθερές εφαπτόμενες επί μιάς μεταβλητής τέταρτης εφαπτομένης έχουν ένα λόγο ανεξάρτητο της θέσης της τετάρτης εφαπτομένης.

Ο λόγος ισχύος αυτής της ιδιότητας, που αληθεύει μόνον γιά παραβολές, μεταξύ των κωνικών διαφόρων ειδών, έγκειται στην διατήρηση του διπλού λόγου, οριζομένου από τέσσερις εφαπτόμενες της κωνικής, τεμνόμενες από μιά πέμπτη εφαπτόμενη.
Εδώ οι τρεις εφαπτόμενες είναι οι ευθείες [AG], [BF], [CE] και η τέταρτη είναι η ευθεία-στο-απειρο (που είναι επίσης εφαπτόμενη στην παραβολή). Σε αυτήν την περίπτωση, ο διπλός λόγος των τεσσάρων εφαπτομένων, τεμνομένων από μιά πέμπτη (εδώ η [DA]), ανάγεται στον λόγο AB/BC, που είναι ανεξάρτητος της θέσεως του D. Ειδικά, όταν αυτός ο λόγος είναι 1 για την εφαπτόμενη σε κάποιο ειδικό σημείο D, τότε θα είναι 1 γιά κάθε εφαπτόμενη της παραβολής. Γιά μιά εικόνα του γενικού θεωρήματος, γιά τον διπλό λόγο τεσσάρων εφαπτομένων κωνικής, δείτε το αρχείο FourTangentsCrossRatio.html .
Η ιδιότητα αυτή των παραβολών οδηγεί σε μιά ενδιαφέρουσα εικόνα, σχετιζόμενη με τις μεσοκαθέτους των πλευρών τριγώνου. Δείτε σχετικά το έγγραφο: MedialParabola.html .

Δείτε ακόμη

FourTangentsCrossRatio.html
MedialParabola.html

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/