Fregier

Ενέλιξη του Fregier με ορθογώνιες από σημείο κωνικής

Θεώρησε σημείο D κωνικής και την δέσμη όλων των ευθειών δια του D. Θεώρησε επίσης την απεικόνιση της κωνικής στον εαυτό της, η οποία αντιστοιχεί σε κάθε σημείο S, το σημείο T = F(S), έτσι ώστε η ευθεία [DS] να είναι ορθογώνια στην [DT]. Η F είναι μιά ενέλιξη και ορίζει σημείον P επί της καθέτου [DO] της κωνικής στο D και την πολική ευθεία [HO] του P, έτσι ώστε όλες οι ευθείες [ST] να διέρχονται από το P και να τέμνουν την [HO] σε σημείο Q της πολικής, έτσι ώστε (Q,P,S,T) = -1 (γνωστή ιδιότητα πόλου-πολικής).

Αποδεικνύουμε τα παραπάνω κατασκευάζοντας μιά ενέλιξη και δείχνοντας ότι συμπίπτει με αυτήν των ορθογωνίων ευθειών στο D. Προς τούτο θεώρησε πρώτα την εφαπτόμενη [DH] και την κάθετη [DO] της κωνικής στο D. Έστω H το σημείο τομής της [DH] με την εφαπτόμενη στο G, που είναι το σημείον τομής της [DO] με την κωνική, διαφορετικό του D. Από το D φέρε παράλληλο στην εφαπτόμενη [GH], τέμνουσα την κωνική σε σημείον J.
Έστωσαν M, N τα σημεία τομής, αντίστοιχα, της [GJ] με την [DL] και [DH]. Έστω O η τομή των [DG] και [HM]. Η ευθεία [LN] τέμνει τις ευθείες [DO], [HO] αντίστοιχα, στα σημεία P, U, που είναι αρμονικά συζυγή των L, N (τετράπλευρο HDNGML). Τα σημεία P, O είναι επίσης αρμονικά συζυγή των D, G (Θεώρησε την ευθεία OL διαιρουμένη αρμονικά από το DGOMHL και πρόβαλε κτλ.). Έτσι το P είναι ο πόλος της ευθείας [HO]. Έπεται ότι για κάθε σημείο Q της κωνικής, η ευθεία [QP] τέμνει στα σημεία S, T και η αντιστοίχιση T = F(S) ορίζει μιαν ενέλιξη της κωνικής, με σημείον Fregier το P. Ισχύει G = F(D) και η ενέλιξη που εισάγεται στην αντίστοιχη δέσμη ευθειών διά του D εναλλάσσει τις δύο ορθογώνιες ευθείες: [DG] και [DN]. Άρα όλες οι ευθείες της δέσμης εναλλάσσονται, με την ενέλιξη, κατά ζεύγη ορθογωνίων ευθειών.

Ο τελευταίος είναι ένας ισχυρισμός που δίδεται ως άσκηση στο βιβλίο του D. Pedoe: A course of Geometry, exercise 80.1, p. 355.
Γιά την λύση της άσκησης, σημείωσε ότι οι κλίσεις δύο ευθειών, εναλλασσομένων μέσω της ενέλιξης, σχετίζονται με μιά εξίσωση της μορφής: Axx'+B(x+x')+C = 0. Υποθέτωντας ότι η ενέλιξη εναλλάσσει δύο ειδικές ορθογώνιες ευθείες (xx'=-1) και ότι αυτές οι ευθείες συμπίπτουν με τους άξονες συντεταγμένων, παίρνουμε B=0, A+C = 0, άρα xx' = -1 γιά όλα τα ζεύγη εναλλασσομένων ευθειών, μέσω της ενέλιξης.

Δείτε ακόμη

Ενέλιξη κωνικής
Άξονας ομογραφίας κωνικής

Βιβλιογραφία

Pedoe, D. A course of Geometry. New York, Dover, 1990, p. 355.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/