InvolutiveHomography

1. Ενελικτική ομογραφία κωνικής

Δοθείσης κωνικής c, μιά ενελικτική ομογραφία της c είναι μιά αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση H της c στον εαυτό της, που μιμήται την αντιδιαμετρική απεικόνιση του κύκλου. Ακριβέστερα, υπάρχει σημείο F, έτσι ώστε γιά κάθε X επί της κωνικής το H(X) να είναι το άλλο σημείο τομής της με την ευθεία FX.
Το F ονομάζεται σημείο Fregier της ενελικτικής ομογραφίας. Η πολική ευθεία L του F ως προς την κωνική λέγεται άξων ομογραφίας της κωνικής.

2. Άλλες απόψεις

Προφανώς, δοθείσης της κωνικής (c), μιά ενελικτική ομογραφία ορίζεται μονοσήμαντα καθορίζοντας ένα σημείο (F) ή μία ευθεία (L). Αυτό διότι το F ορίζει την L ως πολική της και η L, με την σειρά της, ορίζει το F ως πόλο της. Η ενεληκτική ομογραφία H της κωνικής συμπίπτει τότε με τον περιορισμό στην (c) της αρμονικής προοπτικότητας που ορίζεται από το ζεύγος (F,L).
Μιά άλλη άποψη προκύπτει από την χρήση προβολικών συντεταγμένων κατά μήκος της κωνικής. Ακριβέστερα, με την χρήση μιάς καλής παραμέτρησης S (δες Καλή παραμέτρηση ) της (c). Χρησιμοποιώντας μιά τέτοια, η H παριστάνεται με την H' = S*H*S^-1 και η απαίτηση γιά ενέλιξη ισοδυναμεί με την ιδιότητα της H' να είναι μιά ενέλιξη της προβολικής ευθείας δηλαδή της μορφής x'=(ax+b)/(cx-a).

3. Αναλλοίωτες οικογένειες κωνικών

Θεώρησε κωνική c, σημείο F και την πολική του e ως προς την κωνική. Οι c και e (η τελευταία θεωρούμενη σαν εκφυλισμένη κωνική (διπλής ευθείας)) παράγουν μιά οικογένεια κωνικών {c'} (στην παρακάτω εικόνα η c' ελέγχεται από το σημείο P).
Η ευθεία e είναι η πολική της F γιά όλες τις κωνικές {c'}. Χρησιμοποιώντας την F και την πολική της e μπορεί κανείς να ορίσει ενελικτική ομογραφία του επιπέδου (ορισμένη σε όλο το επίπεδο και όχι μόνον στα σημεία της καμπύλης) H, η οποία περιοριζομένη σε κάθε μέλος c' της οικογένειας ορίζει ενελικτική ομογραφία αυτής με σημείο Fregier F.
Ο προφανής ορισμός είναι γιά κάθε X της c' να αντιστοιχίσουμε το άλλο σημείο τομής X' της XF με την c'. Εάν D είναι το σημείο τομής της FX με την e τότε, από τον ορισμό της πολικής, τα τέσσαρα σημεία σχηματίζουν μιάν αρμονική διαίρεση: (X,X',F,D) = -1. Προβολικότητες αυτού του είδους λέγονται αρμονικές προοπτικότητες.
Επειδή ο ορισμός τους εξαρτάται μόνον από το σημείο F και την ευθεία e, υπάρχουν πολλές οικογένειες κωνικών, σαν την {c'}, αναλλοίωτες ως προς αυτήν την προβολικότητα. Πράγματι, κάθε κωνική c'' που έχει το ζεύγος (F, e) ως πόλο-πολική αντίστοιχα, παράγει μαζί με την e μιάν οικογένεια κωνικών αναλλοίωτη ως προς αυτήν την προβολικότητα (δες Αρμονική προοπτικότητα ).

4. Ειδικές περιπτώσεις

[1] Όταν η ευθεία e είναι η ευθεία στο άπειρο, το F τότε είναι το κέντρο της κωνικής (πρέπει να έχει τέτοιο). Τότε η αντίστοιχη ενέλιξη είναι η συμμετρία ως προς το κέντρο της κωνικής.

[2] Όταν η ευθεία e διέρχεται από το κέντρο, τότε το F είναι σημείο στο άπειρο και η ενέλιξη είναι μιά ενέλιξη συζυγούς διαμέτρου (δες Ενέλιξη συζυγούς διαμέτρου .), κατά την οποία κάθε σημείο X απεικονίζεται στο X', έτσι ώστε η ευθεία XX' να είναι παράλληλη της e, άρα το μέσον της M_X να περιέχεται στην συζυγή διάμετρο e' της e.

[3] Η ούτως-ονομαζομένη ενέλιξη Fregier σχετιζόμενη με ένα σταθερό σημείο W της κωνικής (c). Σε αυτήν, κάθε σημείο X της κωνικής, διαφορετικό του W απεικονίζεται στο X', έτσι ώστε η γωνία XWX' να είναι μιά ορθή.

Θεωρώντας δεδομένο ότι η απεικόνιση αυτή είναι πράγματι μιά ενέλιξη (δες Ενέλιξη Fregier ), μπορεί κανείς να δεί εύκολα ότι το σημείο Fregier F της ενέλιξης περιέχεται στην κάθετο στο W. Πράγματι, η ενέλιξη εναλλάσσει τα σημεία {W,W'}, όπου W' το άλλο σημείο τομής της κωνικής με την κάθετο στο W. Θεώρησε επίσης τις διχοτόμους {WA, WA'} της ορθής γωνίας στο W, όπου {A,A'} είναι τα δεύτερα σημεία τομής τους με την κωνική. Το σημείο F συμπίπτει με την τομή των ευθειών {AA', WW'}.

Δείτε ακόμη

Αρμονική προοπτικότητα
Καλή παραμέτρηση
Ενέλιξη συζυγούς διαμέτρου
Ενέλιξη Fregier

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/