Gergonne

1. Σημείο Gergonne τριγώνου

To σημείο Gergonne τριγώνου ABC ορίζεται ως σημείο τομής των ευθειών που ενώνουν τις κορυφές του με τα σημεία επαφής {A',B',C'} των απέναντι πλευρών του με τον εγγεγραμμένο κύκλο.

To ότι οι ευθείες αυτές διέρχονται πράγματι από κοινό σημείο Ν αποδεικνύεται λ.χ. εφαρμόζοντας το θεώρημα του Ceva.
Παρατήρηση Στο τρίγωνο Α'Β'C' η ΑΑ' είναι συμμετροδιάμεσος. Αυτό προκύπτει από την ιδιότητα των εφαπτομένων στα {B',C'} να τέμνονται στο σημείο Α αυτής της ευθείας (δες Symmedian.html ). Άρα το Ν είναι το συμμετροδιάμεσο σημείο του τριγώνου Α'Β'C' των σημείων επαφής του εγγεγραμμένο κύκλου.

2. Σημείο Gergonne και εγγεγραμμένες κωνικές

Μιά καθολική ιδιότητα του σημείου Gergone G ενός τριγώνου ABC προκύπτει από τις γνωστές ιδιότητες των προβολικών απεικονίσεων (δες Προβολικότητες ):
(α) να καθορίζονται πλήρως από τέσσαρα σημεία και τις εικόνες τους,
(β) να απεικονίζουν ευθείες σε ευθείες,
(γ) να απεικονίζουν κωνικές σε κωνικές.
Υπάρχει συνεπώς προβολικότητα F, που απεικονίζει τις κορυφές στον εαυτό τους {F(A)=A, F(B)=B, F(C)=C} και το σημείο G σε ένα άλλο σημείο G'. H εικόνα c' = F(c) του εγγεγραμμένου κύκλου ως προς την F είναι μια κωνική c' εφαπτόμενη στο τρίγωνο.

Παρατηρήσεις
[1] Η προβολικότητα F απεικονίζει τα σημεία επαφής {A',B',C'} του κύκλου στα αντίστοιχα σημεία επαφής {A'',B'',C''} της κωνικής.
[2] Το G' είναι ο προόπτης της κωνικής c' ως προς το τρίγωνο ABC (δες Κωνικές του τριγώνου ).
[3] Οι ευθείες {ΑΑ'', BB'', CC''} που ενώνουν τις κορυφές με τα σημεία επαφής της κωνικής με τις αντίστοιχες απέναντι πλευρές τέμνονται στο G'.
[4] Με αυτόν τον τρόπο κατασκευάζεται κάθε κωνική εγγεγραμμένη στο τρίγωνο ως εικόνα του εγγεγραμμένου κύκλου μέσω της κατάλληλης προβολικότητας.

Δείτε ακόμη

Κωνικές του τριγώνου
Προβολικότητες
Θεώρημα του Adams

Βιβλιογραφία

Honsberger, R. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington DC, Math. Assoc. Ammer., 1995, p. 61.

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/