[0] Η συμμετροδιάμεσος ευθεία από το C, τριγώνου ABC, ορίζεται ως η συμμετρική ευθεία της διαμέσου από το C, ως προς την διχοτόμο της C (δες Συμμετροδιάμεσοι (ΙΙ) γιά τις ιδιότητές της).
[1] Οι τρεις συμμετροδιάμεσοι ευθείες του ABC διέρχονται από κοινό σημείο: το συμμετροδιάμεσο σημείο K του τριγώνου.
[2] To K συμπίπτει με το σημείο του Gergonne του εφαπτομενικού τριγώνουA'B'C' του ABC.
[3] Έτσι, τα δύο τρίγωνα ABC και A'B'C' είναι σημειακά προοπτικά και κατά Desargues (δες Θεώρημα του Desargues ), είναι και αξονικά προοπτικά. Ο αντίστοιχος προοπτικός άξονας A*B* είναι η τριγραμμική πολική του τριγώνου ABC ως προς το σημείο K και λέγεται άξων του Lemoine του τριγώνου ABC.
[4] Τα σημεία {A*, B*, C*} είναι οι τομές των ζευγών ευθειών {(BC, B'C'), (CA, C'A'), (AB, A'B')} αντιστοίχως.
[5] Τα {A*, Β*, C*} είναι οι πόλοι των ευθειών {AA', BB', CC'} ως προς τον περίκυκλο του ABC αντιστοίχως.
[6] Από την δυϊκότητα πόλου-πολικής, τούτο συνεπάγεται ότι το K είναι ο πόλος του άξονα του Lemoine. Άρα η ευθεία OK είναι ορθογώνια στον άξονα του Lemoine.
[7] Η ευθεία (OK) λέγεται άξονας του Brocard του τριγώνου.
[8] Το σημείο C* είναι το κέντρο του κύκλου του Απολλώνιου του τριγώνου ABC που διέρχεται από το C. Ανάλογες ιδιότητες ισχύου και γιά τα σημεία B* και A*. Έχουν λοιπόν οι τρεις Απολλώνιοι κύκλοι τα κέντρα τους επί του άξονα του Lemoine.
Με τις συμμετροδιαμέσους συνδέονται πολλές από τις έννοιες της νεώτερης γεωμετρίας του τριγώνου, όπως οι: αρμονικές δέσμες ευθειών, τριγραμμική πολική, προοπτικά τρίγωνα, αντιπαράλληλοι, Απολλώνιοι κύκλοι, εφαπτομενικό τρίγωνο, ισοδυναμικά σημεία, σημεία του Brocard κ.α.. Οι περισσότερες από αυτές τις έννοιες εξετάζονται στις παραπομπές που δίδονται παρακάτω.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. Συμμετροδιάμεσο σημείο ή σημείο του Lemoine ![[0_0]](Symmedian_files/Symmedian_0_0_0.png)
![[0_1]](Symmedian_files/Symmedian_0_0_1.png)
![[1_0]](Symmedian_files/Symmedian_0_1_0.png)
![[1_1]](Symmedian_files/Symmedian_0_1_1.png)