Hexadivision

Εξαδιαίρεση

Κατασκεύασε ισόπλευρα εξάγωνα LMNOPQ εγγεγραμμένα σε τρίγωνο, δοθέντων των γωνιών α, β και ψ, ως εις το σχήμα.

Ουσιαστικά δίδονται οι γωνίες του ABC, καθώς και του τριγώνου AKL, που ορίζουν την κλίση της MN ως προς την ΑΒ. Παίρνοντας το E αυθαίρετα στην AC και φέροντας παράλληλο EF της KL, ορίζουμε το F. Κατόπιν από τα E και F φέρουμε αντίστοιχα τμήματα ίσα του EF, ορίζοντας τα σημεία D και G. Από το G φέρουμε παράλληλο της BC και παίρνουμε GJ = GF. Κατόπιν κατασκευάζουμε το ισοσκελές βάσης DJ και πλευράς DI=IJ=JG. Ευρίσκουμε το H ως κορυφή του ρόμβου GJIH. Τούτο ολοκληρώνει την κατασκευή ενός ισοπλεύρου εξαγώνου DEFGHI. Το μόνο του μειονέκτημα είναι ότι η IH δεν περιέχεται στην BC αλλά είναι παράλληλος αυτής, εν γένει. Η θεραπεία έγκυται στο γεγονός ότι όλα τα εξάγωνα, που κατασκευάζονται με αυτόν τον τρόπο, ξεκινώντας από αυθαίρετο Ε επί της ΑC, είναι όμοια μεταξύ τους και οι κορυφές τους I, J περιέχονται, αντίστοιχα, σε δύο σταθερές ευθείες [AQ] και [AP]. Τούτο ορίζει την πλευρά QP επί της BC και τούτο, με την σειρά του, ορίζει το εξάγωνο LMNOPQ. Το τελευταίο λ.χ. θεωρώντας την ομοθεσία κέντρου Α και λόγου k = QP/IH και εφαρμόζοντάς την στο εξάγωνο DEFGHI.

Πρόβλημα: Να βρεθεί το εγγεγραμμένο ισόπλευρο εξάγωνο ελαχίστου εμβαδού/περιμέτρου. Δείξε ότι τούτο συμπίπτει με το προκύπτον, όταν η EF είναι παράλληλος της BC (ψ+β=π). Το εξάγωνο τότε είναι συμμετρικό, με πλευρές παράλληλες των πλευρών του ABC. Το κέντρο του εξαγώνου συμπίπτει με το κέντρο τριγώνου X(37). Μιά εικόνα αυτού του ειδικού εξαγώνου περιέχεται στο HexadivisionSymmetric.html .

Η παρούσα είναι μιά ειδική περίπτωση ενός γενικοτέρου προβλήματος που περιγράφεται στο έγγραφο DivisionProblem.html . Υπάρχουν και άλλες ειδικές περιπτώσεις ισοπλεύρων εγγεγραμμένων εξαγώνων, αντιστοιχούντων στην διαμέριση (3,2,1) δηλ. 3 κορυφές σε μιά πλευρά, 2 σε μιά άλλη και 1 στην τρίτη. Αυτές μπορούν να μελετηθούν με ανάλογο τρόπο. Τέλος υπάρχουν περιπτώσεις όπου μία των κορυφών του εξαγώνου συμπίπτει με κορυφή του τριγώνου.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/