DivisionProblem

Πρόβλημα διαίρεσης

Οι δύο προηγούμενες εικόνες δίδουν την λύση ενός γενικού προβλήματος διαίρεσης στην ειδική περίπτωση, όπου Ν=3: Να διαιρεθεί δοθέν πολύγωνο με Ν σημεία επί της περιμέτρου του, έτσι ώστε διαδοχικά σημεία να ευρίσκονται σε σταθερή απόσταση. Με άλλα λόγια, τό πολύγωνο με κορυφές τα σημεία διαίρεσης να είναι ισόπλευρο και εγγεγραμμένο στο πολύγωνο. Σ' αυτό και σε ακόλουθα έγγραφα περιγράφουμε την περίπτωση του τριγώνου για Ν <= 6. Το γενικό πρόβλημα θα το διαπραγματευθούμε αργότερα (υπό προετοιμασία).
Σχετικό με το πρόβλημα διαίρεσης είναι επίσης και το πρόβλημα εύρεσης του ισοπλεύρου εγγεγραμμένου πολυγώνου Ν πλευρών με ελάχιστο/μέγιστο εμβαδόν/περίμετρο. Εδώ λ.χ. το ελάχιστο εγγεγραμμένο ισόπλευρο δεν υπάρχει, εφόσον περιοριζόμαστε σε εγγεγραμμένα της μορφής του αριστερού σχήματος (υπάρχει μέγιστο). Εάν όμως περιοριστούμε σε εγγεγραμμένα της μορφής του δευτέρου σχήματος, τότε υπάρχει ελάχιστο εγγεγραμμένο ισόπλευρο.

Υπόδειξη κινησομοίωσης (animation): Τα σημεία E στο πρώτο και E, D στο δεύτερο σχήμα είναι μεταβλητά μέσω του εργαλείου [Επιλογή στο σύνορο] (ctrl+2). Μετατοπίζοντάς τα αλλάζει το σχήμα και η θέση του τριγώνου στο τετράπλευρο.
Το θέμα που θίγεται εδώ είναι μέρος ενός γενικότερου προβλήματος και συνεχίζεται στο έγγραφο Tetradivision.html .

Δες το έγγραφο Pentadivision.html γιά μια συζήτηση του αναλόγου θέματος με εγγεγραμμένα πεντάγωνα.

Με αυξανόμενο Ν, δημιουργείται μια ποικιλία δυνατοτήτων εγγραφής ισοπλεύρων Ν-γώνων μέσα σε τρίγωνο. Μιά πρώτη ταξινόμηση γίνεται θεωρώντας τις τριάδες (a, b, c) ακεραίων με a+b+c=N. Κάθε τέτοια τριάδα παριστά την κατανομή των κορυφών του εγγεγραμμένου στις πλευρές του τριγώνου: a κορυφές στην πρώτη πλευρά, b στην δεύτερη, κτλ. Μερικές τριάδες μπορεί να είναι κενές π.χ. (1,1,4) για εξάγωνα, είναι κενή, αφού τρείς πλευρές, σχηματίζουσες τεθλασμένη έχουν άθροισμα μηκών ίσο με ευθύγραμμο τμήμα με τα ίδια άκρα. Δες το έγγραφο Hexadivision.html γιά μιά συζήτηση των εγγεγραμμένων εξαγώνων. Στο προηγούμενο έγγραφο διαφαίνεται μια γενική μέθοδος αντιμετώπισης του προβλήματος, χρησιμοποιώντας τις γωνίες του περιβάλλοντος τριγώνου και πρόσθετες γωνίες που καθορίζουν την κλίση κάποιων πλευρών του εγγεγραμμένου ως προς πλευρές του περιβάλλοντος τριγώνου. Οι σκέψεις αυτές γενικεύονται και για ισόπλευρα N-γωνα εγγεγραμμένα σε αλλα M-γωνα. Οι διάφορες κατηγορίες εγγεγραμμένων Ν-γώνων διακρίνονται αρχικά από τις διαμερίσεις α+β+ ... +ω = Ν, όπου εμφανίζονται Μ προσθεταίοι. Μετά την εξέταση των γενικών περιπτώσεων θα πρέπει να μελετηθούν οι ειδικές εκείνες περιπτώσεις, όπου κάποιες κορυφές των εγγεγραμμένων συμπίπτουν με κάποιες κορυφές των περιβαλλόντων πολυγώνων.

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/