Inverse_Pedals

Αντίστροφα ποδικά τρίγωνα

Το ποδικό τρίγωνο ενός σημείου D, ως προς τρίγωνο τ = (ABC) είναι το τρίγωνο που σχηματίζεται από τους πόδες των καθέτων, από το D στις πλευρές (ή προεκτάσεις) του τριγώνου. Ισχύει :
Αντίστροφα σημεία D, E, ως προς τον περιγεγραμμένο κύκλο του τ ορίζουν όμοια ποδικά τρίγωνα.

Μιά απόδειξη προκύπτει συγκρίνοντας τον λόγο δύο πλευρών. Π.χ. της IK προς την FH. Ο λόγος αυτών των πλευρών είναι ο ίδιος με τον λόγο των διαμέτρων των κύκλων {KEIC} προς {FDHC}. Τούτο διότι οι πλευρές αυτές φαίνονται από το C και D, αντίστοιχα, υπό ίσες γωνίες. Οι διάμετροι EC και CD των αντιστοίχων κύκλων έχουν λόγο ίσο προς τον LE/LD. Τούτο διότι η LC είναι διχοτόμος της γωνίας ECD. Έτσι ο λόγος των πλευρών IK/HF ισούται με τον λόγο EL/LD. Παρόμοια δείχνουμε και για τους λόγους των άλλων πλευρών, των τριγώνων (ΙJK), (HFG).

Το θεώρημα αυτό έχει μιά συνέπεια για τους 12 οδηγούς περιστροφής ενός τριγώνου εγγεγραμμένου μέσα σ' ένα άλλο. 6 εκ των οδηγών είναι μέσα στον περιγεγραμμένο κύκλο του περιέχοντος τριγώνου και 6 είναι εκτός και σε θέσεις αντίστροφες των 6 πρώτων ως προς τον περιγεγραμμένο. Μιά εικόνα αυτού του θέματος περιέχεται στο έγγραφο: Έξι οδηγοί .

Δείτε ακόμη

Έξι οδηγοί

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/