Isotomy_OnMedian

1. Ισοτομία ως προς την διάμεσο

Ορίζεται αρχικά ως προς τρίγωνο ABC και μία διάμεσό του έστω την ΑΜ. Είναι ο συσχετισμένος μετασχηματισμός o οποίος σε κάθε σημείο P αντιστοιχεί το σημείο P', έτσι ώστε η PP' είναι παράλληλος της βάσης BC του τριγώνου και το μέσον N του PP' είναι στην διάμεσο AM.

Παρατήρηση-1 Το τρίγωνο δεν είναι απαραίτητο γιά τον ορισμό ενός ισοτομικού μετασχηματισμού F. Αυτός μπορεί να ορισθεί γενικώτερα δίδοντας μία ευθεία (ΑΜ) και μιά κατεύθυνση ΒC διαφορετική της AΜ. Τυπικά ο ορισμός είναι ο ίδιος με την ειδική περίπτωση: γιά κάθε σημείο P το σημείο P'=F(P) ορίζεται, έτσι ώστε η PP' είναι παράλληλος της BC και το μέσον N του PP' να είναι στην ευθεία AM.
Παρατήρηση-2 Η απεικόνιση αυτή γενικεύει τον κατοπτρισμό, καθώς συμπίπτει με αυτόν όταν η ΑΜ είναι κάθετος στην κατεύθυνση BC.

H παράσταση του μετασχηματισμού σε τριγραμμικές συντεταγμένες δίδεται απο τον τύπο:
F_A(x,y,z) = (x',y',z') = (x*sin(B)*sin(C), z*sin(C)², y*sin(B)²).
Αυτός δεν έιναι σε απόλυτες τριγραμμικές. Γιά να πάρουμε την παράσταση του μετασχηματισμού σε απόλυτες συντεταγμένες διαιρούμε με τον παράγοντα (sin(B)*sin(C)) της πρώτης συντεταγμένης και παίρνουμε:
F_A(x,y,z) = (x',y',z') = (x, z*(sin(C)/sin(B)), y*(sin(B)/sin(C)))= (x , z*(b/c), y*(c/b)).

2. Συσχετισμένη συμμετρία δύο παραβολών

Το επόμενο σχήμα δείχνει δύο παραβολές περιγεγραμμένες/εγγεγραμμένες του τριγώνου ABC και έχουσες άξονες συμμετρίας παράλληλες προς την διάμεσο AM. Η αντίστοιχη ισοτομία είναι μιά συσχετισμένη συμμετρία των δύο παραβολών.
Στο σχήμα περιέχονται αξιοσημείωτα σημεία, εύκολα κατασκευαζόμενα από τα στοιχεία του τριγώνου, μέσω (πέντε εκ) των οποίων μπορούν να ορισθούν οι παραβολές ως κωνικές διερχόμενες δι' αυτών.

3. Διάκριση από την ισοτομική συζυγία

Το είδος αυτής της συσχετισμένης απεικόνισης πρέπει να διακριθεί από την συγγενή της ισοτομική συζυγία ως προς τρίγωνο, που είναι μη-συσχετισμένη (τετραγωνίκή) απεικόνιση και στέλνει κωνικές διερχόμενες από τις κορυφές τριγώνου σε ευθείες και αντίστροφα. Η απεικόνιση αυτή εξετάζεται στο Βαρυκεντρικές συντεταγμένες .

Δείτε ακόμη

Αντισυμπληρωματικό και περιγεγραμμένη παραβολή
Βαρυκεντρικές συντεταγμένες

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/