MaxMinAngles

Κατασκευή μέγιστης/ελάχιστης γωνίας

Πρόβλημα-1 Δίδονται σημεία {A,B} και ευθεία (e), θεώρησε την γωνία(APB) γιά σημεία P επί της (e). Βρες το σημείο P₀ της (e), γιά το οποίο η γωνία αυτή γίνεται μέγιστη.

Απόδειξη με εικόνα: Ο κύκλος ΑΒΡ₀ είναι εφαπτόμενος στην (e) και διέρχεται από τα {A,B}. Ο κύκλος (c) έχει ακτίνα r, με r² = EA*EB και συνεπώς είναι ορθγοώνιος σε όλους τους κύκλους που διέρχονται διά των {A,B}.

Πρόβλημα-2 Το ίδιο πρόβλημα όπου αντικαθιστούμε την ευθεία με έναν κύκλο (e). Να βρεθούν σημεία P₀ (P₁) επί του (e) έτσι ώστε η γωνία(APB), γιά P επί του (e) να γίνεται μέγιστη (αντίστοιχα ελάχιστη).

Δείξε πρώτα ότι κάθε κύκλος (c') διά των {A,B} και τέμνων τον κύκλο (e) ορίζει κοινή χορδή των {c',e} (ριζικός άξονας των κύκλων {c',e}) διερχόμενη από σταθερό σημείο E της ευθείας AB (δες Ριζικός άξονας ). Tότε ο κύκλος (d), με κέντρο το E και ακτίνα r, με r² = EA*EB τέμνει τον (e) σε δύο σημεία {P₀, P₁}, που δίδουν το μέγιστο/ελάχιστο της γωνίας(APB), γιά P επί του (e). Συζήτησε την περίπτωση στην οποία τα {A,B} είναι και τα δύο εντός του κύκλου (e).

Δείτε ακόμη

Ριζικός άξονας

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/