Miquel

1. Θεώρημα Miquel γιά τέσσερις τεμνόμενους κύκλους

Έστωσαν τέσσαρα σημεία {A, B, C, D} κύκλου (c) και τέσσερις άλλοι κύκλοι διερχόμενοι, έκαστος, από δύο διαδοχικά σημεία εκ των τεσσάρων. Τότε τα δεύτερα σημεία τομής {A*, B*, C*, D*} αυτών των κύκλων περιέχονται σε άλλο κύκλο d.

Γιά την απόδειξη σημείωσε ότι οι γωνίες A*+C* = 4π-(φ+ω+φ*+ω*) = 4π-((2π-φ₁-φ₂)+(2π-ω₁-ω₂)) = π.

2. Περίπτωση συγγραμμικών σημείων

Η προηγούμενη πρόταση ισχύει και όταν τα τέσσαρα σημεία {A, B, C, D} περιέχονται σε ευθεία (e). Και τότε τα δεύτερα σημεία τομής {A*, B*, C*, D*} αυτών των κύκλων περιέχονται σε κύκλο d.

H απόδειξη και σε αυτήν την περίπτωση είναι μιά σύγκριση γωνιών ανάλογη της προηγουμένης. Μιά άλλη απόδειξη μπορεί να γίνει μέσω αντιστροφής που απεικονίζει την ευθεία σε κύκλο και ανάγει το πρόβλημα στην προηγούμενη περίπτωση.

3. Σημείο Miquel

Το θεώρημα αυτό ανάγεται μέσω αντιστροφής σε άλλο γνωστό θεώρημα του Miquel που αφορά στο κοινό σημείο τομής τριών κύκλων διερχομένων από κορυφές τριγώνου και σημεία επί των πλευρών του (δες Σημείο του Miquel ).

Πράγματι, θεώρησε κύκλο k με κέντρο στο Α και αυθαίρετη ακτίνα. Έστω F η αντιστροφή ως προς αυτόν τον κύκλο. Οι τρεις κύκλοι {c, ab, ad} που διέρχονται από το Α απεικονίζονται μέσω της F σε τρεις ευθείες που σχηματίζουν τρίγωνο. Οι άλλοι τρεις κύκλοι {bc, cd, d} απεικονίζονται σε κύκλους αντίστοιχα {bc',cd',d'}, κάθε ένας από τους οποίους διέρχεται από μία κορυφή του προηγουμένου τριγώνου και δύο σημεία επί των πλευρών του. Κατά το θεώρημα του Miquel γιά ένα τέτοιο σύστημα κύκλων οι τρεις κύκλοι θα διέρχονται απο κοινό σημείο. Τα τέσσαρα σημεία {A₁,B₁,C₁,D₁} επί του κύκλου d' απεικονίζονται μέσω αντιστροφής στα τέσσαρα σημεία {A*, B*, C*, D*} του κύκλου d.

Δείτε ακόμη

Σημείο του Miquel
Αντιστροφή

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/