Inversion

1. Μετασχηματισμός αντιστροφής

Ο μετασχηματισμός αυτός καθορίζεται μέσω του κύκλου των σταθερών σημείων του ή κύκλου αντιστροφής (c). Γιά κάθε σημειο P, διαφορετικό από το κέντρο O του κύκλου, ορίζεται ως αντίστροφο το σημείο P' της ευθείας OP, έτσι ώστε OP*OP'=r², όπου r η ακτίνα του κύκλου.

2. Βασικές ιδιότητες

[1] Ο μετασχηματισμός αντιστροφής P'=F(P) είναι ενέλιξη, δηλαδή F²=1.
[2] Τα σημεία του κύκλου αντιστροφής c(O,r) παραμένουν σταθερά ως προς F.
[3] Τα {P, P'=F(P)} είναι αρμονικά συζυγή ως προς {X,X'}, τα οποία είναι τα σημεία τομής της ευθείας PP' και του κύκλου αντιστροφής.
[4] Κάθε κύκλος διά των {P,P'=F(P)} τέμνει τον κύκλο αντιστροφής (c) ορθογώνια και μένει αναλλοίωτος ως προς F.
[5] Η εικόνα ως προς F κύκλου (d), μη διερχομένου διά του O, είναι κύκλος (d'=F(d)).
[6] H εικόνα ως προς F κύκλου (d), διερχομένου διά του O, είναι ευθεία και αντίστροφα, η εικόνα ευθείας είναι κύκλος διερχόμενος διά του O.
[7] Η αντιστροφή είναι σύμμορφη απεικόνιση, δηλαδή διατηρεί την γωνία των δύο εφαπτομένων στο σημείο τομής δύο καμπυλών.
[8] Η αντιστροφή, θεωρουμένη ως απεικόνιση του μιγαδικού επιπέδου στον εαυτό του απεικονίζει τον μιγαδικό διπλό λόγο τεσσάρων σημείων στον μιγαδικό συζυγή του:

[9] Ειδικά, διατηρεί τον διπλό λόγο τεσσάρων σημείων σε κύκλο ή ευθεία (αφού αυτός τότε είναι πραγματικός).

Κύκλοι (d) τέμνοντες τον κύκλο αντιστροφής (c) ορθογώνια παραμένουν αναλλοίωτοι κατά την αντιστροφή (απεικονίζονται στον εαυτό τους).

Η εικόνα ως προς F κύκλου (d), διερχόμενου διά του O, είναι ευθεία d' και αντίστροφα, η εικόνα της ευθείας d' είναι κύκλος διερχόμενος διά του O. Διά των τεσσάρων σημείων {P,P'} και {Q,Q'} διέρχεται κύκλος, που είναι ορθογώνιος στον κύκλο αντιστροφής (c).
'Αν P' είναι η προβολή του Ο στην ευθεία d', τότε το αντίστροφο του Ρ' είναι ο πόλος της ευθείας ως προς τον κύκλο αντιστροφής.

Αντιστροφές είναι σύμμορφες απεικονίσεις. Η εφαπτόμενες δύο τεμνομένων καμπυλών (u,v) στο P σχηματίζουν γωνία ίση με την γωνία των εφαπτομένων των καμπυλών-εικόνων τους u'=F(u), v'=F(v) στο σημείο P'=F(P).
Γιά κάθε κατεύθυνση (t) στο P, υπάρχει κύκλος ορθογώνιος του (c) διερχόμενος διά του Ρ και εφαπτόμενος στο (t). Ο κύκλος αυτός απεικονίζεται μέσω της αντιστροφής στον εαυτό του και η εφαπτόμενη (t') είναι συμμετρική της (t) ως προς την μεσοκάθετο του PP'.

Η αντιστροφή, θεωρούμενη ως μιγαδική συνάρτηση απεικονίζει τον διπλό λόγο στον μιγαδικό του. Οι διπλοί λόγοι των τετράδων σημείων (X,Y,Z,W) και (X',Y',Z',W') είναι συζυγείς αριθμοί. Εάν ένας είναι πραγματικός το ίδιο συμβαίνει και με τον άλλο. Έτσι τέσσαρα σημεία επί ευθείας ή κύκλου ορίζουν διπλό λόγο που διατηρείται από τις αντιστροφές.

3. Επιπλέον ιδιότητες

Η εικόνα ως προς F κύκλου (d), μη-διερχομένου διά του O, είναι κύκλος (d'). Στην εικόνα είναι δύο κύκλοι που η F εναλλάσσει (απεικονίζει τον ένα στον άλλο). Τέμνονται επί του κύκλου αντιστροφής (c). Άρα ο ριζικός άξονας των κύκλων (d,d') είναι ο ίδιος με τον ριζικό άξονα των κύκλων (c,d). Αυτό ισχύει γιά κάθε κύκλο d, μη διερχόμενο διά του κέντρου O.

Εφαπτόμενες κύκλων {d, d'} αντιστρόφων ως προς άλλον κύκλο (c) σε αντίστροφα σημεία {P, P'} τέμνονται επί του ριζικού άξονος των δύο κύκλων.

4. Εφαρμογές

Η αντιστροφή έχει πλήθος εφαρμογών και δίδει την δυνατότητα απλών αποδείξεων θεωρημάτων της ευκλείδειας γεωμετρίας. Ως παραδείγματα αναφέρω:
[1] To θεώρημα του Πτολεμαίου.
[2] To θεώρημα των αλυσίδων του Steiner.
[3] To θεώρημα του Feuerbach.
[4] Απλούς τρόπους λυσεις των προβλημάτων του Απολλώνιου.

Δείτε ακόμη

Θεώρημα του Πτολεμαίου
Αλυσίδες του Steiner
Άρβηλος
Προβλήματα του Απολλώνιου
Θεώρημα του Feuerbach

Βιβλιογραφία

Altshiller-Court, Nathan College Geometry: A Second Course in Plane Geometry, 2nd Ed.. New York, Barnes and Noble, 1952, pp. 231-243.
Audin, Michele Geometry Berlin, Springer, 2002, pp. 83-111.
Papelier, G. Exercices de Geometrie Moderne, facs. VI (Inversion) Paris, Vuibert, 1927, pp. 1-134

Επιστροφή στο Γεωμετρικόν

http://users.math.uoc.gr/~pamfilos/