Θεώρησε ένα πλήρες τετράπλευρο σχηματιζόμενο από τέσσαρες ευθείες, ανά τρεις μη-συντρέχουσες σε σημείο. Tα έξι σημεία τομής των πλευρών του είναι οι κορυφές του τετραπλεύρου {A,B,C,D,E,G}. Κορυφές μη-περιεχόμενες σε κοινή πλευρά λέγονται απέναντι. Διαγώνιοι λέγονται τα τρία ευθύγραμμα τμήματα που ορίζονται από απέναντι κορυφές {AC, BD, EG}. To θεώρημα του Newton λέει ότι τα μέσα {Η, Κ, Ι} των διαγωνίων είναι συγγραμμικά. Η ευθεία που τα περιέχει λέγεται ευθεία Newton του τετραπλεύρου.
Η απόδειξη προκύπτει εύκολα ξεκινώντας από τα μέσα των πλευρών ενός τριγώνου από τα τέσσαρα που σχηματίζεται από τις τέσσαρες ευθείες. Γιά παράδειγμα το τρίγωνο BCG. Οι ευθείες διά των μέσων των πλευρών του διέρχονται (έκαστη) από τα {K, H, I}. Γιά να δείξουμε ότι τα σημεία αυτά είναι συγγραμμικά αρκεί να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Μενελάου στο τρίγωνο B'C'G' και να δείξουμε ότι
(HG'/HB')(IB'/IC')(KC'/KG')=1. (*)
Εφαρμόζοντας το ίδιο θεώρημα στο τρίγωνο BCG και τέμνουσα ευθεία την DE we have: (AB/AG)(EC/EB)(DG/DC)=1. Όμως οι λόγοι, ένας προς έναν, είναι ίσοι με:
HG'/HB'=AB/AG, IB'/IC'=EC/EB και KC'/KG'=DG/DC,
πράγμα που αποδεικνύει την (*) (απόδειξη κατά Deltheil and Caire).
Γιά μιά ιδιότητα της ευθείας Newton στην ειδική περίπτωση κυκλικού τετραπλεύρου δες το Newton ευθεία (ΙΙ) .
Παρατήρηση Η σημασία αυτής της ιδιότητας αποκαλύπτεται, νομίζω, στο πλαίσιο της γεωμετρίας του τριγώνου και των τετραγωνικού μετασχηματισμού που αντιστοιχεί σε σημείο του επιπέδου του. Η ιστορία αυτή εξετάζεται στην παράγραφο 6 του Ισογωνιότητα γενικευμένη.
![[alogo]](alogo.png){kind=small}
1. H ευθεία Newton τετραπλεύρου ![[0_0]](Newton_files/Newton_0_0_0.png)
![[0_1]](Newton_files/Newton_0_0_1.png)
![[0_2]](Newton_files/Newton_0_0_2.png)